Equações, códigos, cifras, matemática e poesia

Michal Shurek diz sobre si mesmo: “Nasci em 1946. Eu me formei na Universidade de Varsóvia em 1968 e desde então tenho trabalhado na Faculdade de Matemática, Informática e Mecânica. Especialização científica: geometria algébrica. Recentemente, lidei com feixes de vetores. O que é um feixe vetorial? Então, os vetores precisam estar bem amarrados com um fio, e já temos um monte. Meu amigo físico Anthony Sim me fez ingressar no Young Technician (ele admite que deveria receber royalties de meus honorários). Escrevi alguns artigos e depois fiquei, e desde 1978 você pode ler todo mês o que penso sobre matemática. Amo montanhas e, apesar de estar acima do peso, procuro caminhar. Acho que os professores são os mais importantes. Eu manteria os políticos, quaisquer que fossem suas opções, em uma área fortemente protegida para que não pudessem escapar. Alimentar uma vez por dia. Um beagle de Tulek gosta de mim.

Uma equação é como uma cifra para um matemático. Resolver equações, a quintessência da matemática, é a leitura do texto cifrado. Isso foi percebido pelos teólogos desde o século XNUMX. João Paulo II, que conhecia matemática, escreveu e mencionou isso várias vezes em seus sermões - infelizmente, os fatos foram apagados da minha memória.

Na ciência escolar, é representado Pitágoras como o autor do teorema sobre alguma dependência em um triângulo retângulo. Então, tornou-se parte de nossa filosofia eurocêntrica. E, no entanto, Pitágoras tem muito mais virtudes. Foi ele quem impôs aos seus alunos o dever de "conhecer o mundo", a partir de "o que há por trás deste morro?" antes de estudar as estrelas. É por isso que os europeus "descobriram" civilizações antigas, e não vice-versa.

Alguns leitores lembramPadrões de Viètee"; muitos leitores mais velhos lembram-se do próprio termo da escola e aproximadamente do fato de que a questão apareceu em equações quadráticas. Essas regularidades são “ideologicamente” criptografia em formação.

Não é de admirar um François Viet (1540-1603) trabalhou com criptografia na corte de Henrique IV (o primeiro rei francês da dinastia Bourbon, 1553-1610) e conseguiu quebrar a cifra usada pelos britânicos na guerra com a França. Assim, ele desempenhou o mesmo papel que os matemáticos poloneses (liderados por Marian Rejewski), que descobriram os segredos da máquina de cifra alemã Enigma antes da Segunda Guerra Mundial.

tema de moda

Exatamente. O tópico "códigos e cifras" há muito se tornou moda no ensino. Já escrevi sobre isso várias vezes, e em dois meses haverá outra série. Desta vez estou escrevendo sob a impressão de um filme sobre a guerra de 1920, onde a vitória foi em grande parte devido à quebra do código das tropas bolcheviques por uma equipe liderada pelo então jovem Vaclav Sierpinski (1882-1969). Não, ainda não é Enigma, é apenas uma introdução. Lembro-me de uma cena do filme em que Józef Piłsudski (interpretado por Daniil Olbrychski) diz ao chefe do departamento de cifras:

As mensagens decodificadas traziam uma mensagem importante: as tropas de Tukhachevsky não receberiam apoio. Você pode atacar!

Eu conhecia Vaclav Sierpinski (se assim posso dizer: eu era um jovem estudante, ele era um professor famoso), assistia às suas palestras e seminários. Ele dava a impressão de um estudioso murcho, distraído, ocupado com sua disciplina e sem ver o outro mundo. Ele dava uma palestra específica, de frente para o quadro-negro, sem olhar para a platéia... mas sentia-se um excelente especialista. De uma forma ou de outra, ele tinha certas habilidades matemáticas - por exemplo, para resolver problemas. Há outros, cientistas que são relativamente ruins em resolver quebra-cabeças, mas que têm uma compreensão profunda de toda a teoria e são capazes de iniciar áreas inteiras de criatividade. Precisamos de ambos - embora o primeiro se mova mais rápido.

Vaclav Sierpinski nunca falou sobre suas conquistas em 1920. Até 1939, isso definitivamente tinha que ser mantido em segredo, e depois de 1945, aqueles que lutaram com a Rússia soviética não gozavam da simpatia das autoridades da época. Minha convicção de que os cientistas são necessários, como um exército, é comprovada: "só por precaução". Aqui está o presidente Roosevelt chamando Einstein:

O notável matemático russo Igor Arnold disse abertamente e com tristeza que a guerra teve uma grande influência no desenvolvimento da matemática e da física (radar e GPS também tiveram origem militar). Não entro no aspecto moral do uso da bomba atômica: aqui está a extensão da guerra por um ano e a morte de vários milhões de seus próprios soldados - há o sofrimento de civis inocentes.

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Eu fujo para áreas familiares - K. Muitos de nós brincamos com os códigos, talvez explorando, talvez assim. Cifras simples, baseadas no princípio de substituir letras por outras letras ou outros números, são rotineiramente quebradas se pegarmos apenas algumas pistas (por exemplo, adivinhamos o nome do rei). A análise estatística também ajuda hoje. Pior, quando tudo é mutável. Mas o pior é quando não há regularidade. Considere o código descrito em The Adventures of the Good Soldier Schweik. Pegue um livro, por exemplo, The Flood. Aqui estão as sugestões na primeira e segunda páginas.

Queremos codificar a palavra "CAT". Abrimos na página 1 e no próximo segundo. Descobrimos que na página 1, a letra K aparece pela primeira vez na 59ª posição. Encontramos a quinquagésima nona palavra no lado oposto, do outro lado. É uma palavra "a". Agora a letra O. À esquerda está a 16ª palavra, e a décima sexta à direita é "Sr." A letra T está na 95ª posição, se eu contar corretamente, e a nonagésima quinta palavra da direita é "o". Então, CAT = 1 SENHOR O.

Uma cifra "improvável", embora dolorosamente lenta tanto para criptografia quanto... para adivinhação. Suponha que queremos passar a letra M. Podemos verificar se a codificamos com a palavra "Wołodyjowski". E depois de nós já estão preparando uma cela de prisão. Só podemos contar com uma reposição! Além disso, a contrainteligência observa relatos de funcionários secretos que, por algum tempo, os clientes compraram voluntariamente o primeiro volume de The Flood.

Meu artigo é uma contribuição para esta tese: mesmo as ideias mais bizarras dos matemáticos podem encontrar aplicação em uma prática amplamente compreendida. Por exemplo, é possível imaginar uma descoberta matemática menos útil do que o teste de divisibilidade por... por 47?

Quando precisamos disso na vida? E se assim for, será mais fácil tentar separá-lo. Se divide, então é bom, se não, então... secundariamente é bom (sabemos que não divide).

Como compartilhar e por quê

Após esta introdução, vamos passar para: Vocês leitores conhecem algum sinal de divisibilidade? Definitivamente. Números pares terminam em 2, 4, 6, 8 ou zero. Um número é divisível por três se a soma de seus algarismos for divisível por três. Da mesma forma, com o sinal de divisibilidade por nove - a soma dos dígitos deve ser divisível por nove.

Quem precisa? Eu estaria mentindo se convencesse o Leitor de que ele era bom para qualquer coisa além de... trabalhos escolares. Bem, e outra característica da divisibilidade por 4 (e o que é isso, Leitor? Talvez você a use quando quiser saber em que ano cai a próxima Olimpíada...). Mas o recurso de divisibilidade por 47? Isso já é uma dor de cabeça. Será que algum dia saberemos se algo é divisível por 47? Se sim, então pegue uma calculadora e veja.

Este. Você tem razão, Leitor. E, no entanto, continue a ler. Por favor.

Divisibilidade por 47: O número 100+ é divisível por 47 se e somente se 47 for divisível por +8.

O matemático sorrirá de satisfação: "Nossa, que lindo". Mas matemática é matemática. As evidências são importantes e prestamos atenção à sua beleza. Como provar nossa característica? É muito simples. Subtraia de 100 + o número 94 - 47 = 47 (2 -). Obtemos 100+-94+47=6+48=6(+8).

Subtraímos um número que é divisível por 47, então se 6 (+ 8) é divisível por 47, então 100 + também é. Mas o número 6 é relativamente primo de 47, o que significa que 6 (+ 8) é divisível por 47 se e somente se for + 8. Fim da prova.

Vamos ver Alguns exemplos.

8805685 é divisível por 47? Se estivermos realmente interessados ​​nisso, descobriremos mais cedo apenas nos dividindo como nos ensinaram na escola primária. De uma forma ou de outra, agora todo celular tem uma calculadora. Dividido? Sim, privado 187355.

Bem, vamos ver o que o sinal de divisibilidade nos diz. Desconectamos os dois últimos dígitos, multiplicamos por 8, adicionamos o resultado ao “número truncado” e fazemos o mesmo com o número resultante.

8805685 → 88056 + 8 = 85 → 88736 + 887 = 8 → 36 + 1175 = 11 → 8 + 75 = 611.

Vemos que 94 é divisível por 47 (o quociente é 2), o que significa que o número original também é divisível. Multar. Mas e se continuarmos nos divertindo?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Agora devemos parar. Quarenta e sete é divisível por 47, certo?

Precisamos mesmo parar? E se formos mais longe? Ai meu Deus, tudo pode acontecer... Vou omitir os detalhes. Talvez apenas o começo:

47 → 0 + 8 = 47 → 376 + 3 = 8 → 76 + 611 = 6 → 8 + 11 = 94.

Mas, infelizmente, é tão viciante quanto mastigar sementes...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, quarenta e sete. Aconteceu antes. Qual é o próximo? . Mesmo. Os números vão em um loop como este:

É realmente interessante. Tantos laços.

Dois seguintes exemplos.

Queremos saber se 10017627 é divisível por 47. Por que precisamos desse conhecimento? Recordamos o princípio: ai do conhecimento que não ajuda o conhecedor. O conhecimento está sempre lá para alguma coisa. Será para alguma coisa, mas agora não vou explicar. Mais algumas contas:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Ele mudou seu tio de um machado para uma vara." O que ganhamos com tudo isso?

Bem, vamos repetir o curso do processo. Ou seja, continuaremos fazendo isso (ou seja, a palavra “iterar”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Vamos parar o jogo, dividir como na escola (ou na calculadora): 235 = 5 47. Bingo. O número original 10017627 é divisível por 47.

Bem feito!

E se formos mais longe? Acredite, você pode conferir.

E mais um fato interessante. Queremos verificar se 799 é divisível por 47. Usamos a função de divisibilidade. Desconectamos os dois últimos dígitos, multiplicamos o número resultante por 8 e adicionamos ao que resta:

799 → 7 + 8 = 99 + 7 = 792.

O que nós temos? 799 é divisível por 47 se e somente se 799 é divisível por 47? Sim, isso mesmo, mas nenhuma matemática é necessária para isso!!! O óleo é oleoso (pelo menos este óleo é oleoso).

Sobre a folha, os piratas e o fim das brincadeiras!

Mais duas histórias. Qual é o melhor lugar para esconder uma folha? A resposta é óbvia: na floresta! Mas como você pode encontrá-lo então?

A segunda nós sabemos de livros sobre piratas que lemos há muito tempo. Os piratas fizeram um mapa do local onde enterraram o tesouro. Outros o roubaram ou venceram a luta. Mas o mapa não indicava para qual ilha se destinava. E procure você mesmo! Claro, os piratas lidaram com isso (tortura) - as cifras de que estou falando também podem ser extraídas usando esses métodos.

Fim das piadas. Leitor! Criamos uma cifra. Sou um espião disfarçado e uso "Técnico Júnior" como minha caixa de contato. Encaminhe-me mensagens criptografadas da seguinte maneira.

Primeiro, converta o texto em uma sequência de números usando o código: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Como você pode ver, não usamos diacríticos poloneses (ou seja, sem ą, ê, ć, ń, ó, ś) e q, v não polonês - mas o x não polonês está lá apenas no caso. Vamos incluir outros 25 como espaço (espaço entre palavras). Ah, o mais importante. Por favor, aplique o código nº 47.

Você sabe o que isso significa. Você vai a um amigo matemático.

Os olhos do amigo se arregalaram de surpresa.

Você responde com orgulho:

Um matemático lhe dá essa característica... e você já sabe que uma função de aparência discreta é usada para criptografia

porque tal padrão é uma ação descrita

100+→+8.

Então, quando você quer saber o que um número significa, como 77777777 em uma mensagem criptografada, você usa a função

100+→+8

até obter um número entre 1 e 25. Agora observe o código alfanumérico explícito. Vejamos: 77777777 →… Deixo isso para você como tarefa. Mas vamos ver o que a letra 48 esconde? Vamos ler:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Então vamos por sua vez:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

O fim não está à vista. Somente após o sexagésimo (!) tempo aparecerá um número menor que 25. Este é 3, o que significa que 48 é a letra C.

E o que essa mensagem nos dá? (Quero lembrá-lo que usamos o código número 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Bem, pense nisso, o que é tão complicado, algumas contas. Nós começamos. Início dos 80. Regra conhecida:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Continua assim:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Comer! A primeira letra da mensagem é K. Ufa, fácil, mas vai demorar quanto tempo?

Vejamos também quantos problemas temos que ter com o número 1234567. Somente na décima sexta vez obteremos um número menor que 25, ou seja, 12. Então 1234567 é L.

Ok, pode-se dizer, mas essa operação aritmética é tão simples que programá-la em um computador quebrará imediatamente o código. Sim, é verdade. Estes são cálculos de computador simples. ideia com cifra pública e também torna os cálculos difíceis para o computador. Deixe-o trabalhar por pelo menos cem anos. Ele vai decifrar a mensagem? Não importa. Não importará por muito tempo. Isso é (mais ou menos) o que são as cifras públicas. Eles podem ser quebrados se você trabalhar por muito tempo... até que as notícias não sejam mais relevantes.

 sempre deu origem a "contra-armas". Tudo começou com uma espada e um escudo. Os Serviços Secretos pagam enormes somas de dinheiro a matemáticos talentosos para inventar métodos de criptografia que os computadores (incluindo aqueles criados por nós) não serão capazes de decifrar no século XNUMX.

século vinte e dois? Não é tão difícil saber que já existem muitas pessoas no mundo que viverão neste belo século!

Ah é? E se eu pedir (a mim, o Agente Secreto contactado pelo “Jovem Técnico”) para encriptar com o código número 23? Ou 17? Simples:

Que nunca tenhamos que usar a matemática para tais propósitos.

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O título do artigo é sobre poesia. O que ela tem a ver com isso?

Como o quê? A poesia também criptografa o mundo.

Como?

Por seus métodos - semelhantes aos algébricos.