cinco vezes no olho

No final de 2020, vários eventos foram realizados em universidades e escolas, adiados de ... março. Uma delas foi a “celebração” do dia do pi. Nesta ocasião, em 8 de dezembro, dei uma palestra remota na Universidade da Silésia, e este artigo é um resumo da palestra. A festa toda começou às 9.42h10.28, e minha palestra está marcada para 3h9,42. De onde vem tanta precisão? É simples: 2 vezes pi é cerca de 9,88, e π elevado à 9ª potência é cerca de 88, e a hora 10 à 28ª potência é XNUMX à XNUMXª ...

O costume de homenagear este número, expressando a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro e às vezes chamado de constante de Arquimedes (assim como em culturas de língua alemã), vem dos EUA (Veja também: ). 3.14 de março “estilo americano” às 22h22, daí a ideia. O equivalente polonês pode ser 7 de julho porque a fração 14/XNUMX se aproxima bem de π, o que…Arquimedes já sabia. Bem, XNUMX de março é a melhor época para eventos paralelos.

Esses três e quatorze centésimos são uma das poucas mensagens matemáticas que permaneceram conosco desde a escola por toda a vida. Todo mundo sabe o que isso significa"cinco vezes no olho". Está tão arraigado na linguagem que é difícil expressá-lo de forma diferente e com a mesma graça. Quando perguntei na oficina quanto custaria o conserto, o mecânico pensou e disse: “cinco vezes cerca de oitocentos zlotys”. Resolvi aproveitar a situação. "Você quer dizer uma aproximação grosseira?". O mecânico deve ter pensado que eu tinha entendido errado, então ele repetiu: "Eu não sei exatamente quanto, mas cinco vezes a olho seria 800".

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Sobre o que é isso? A ortografia pré-Segunda Guerra Mundial usava "não" junto, e eu deixei lá. Não estamos lidando aqui com poesia desnecessariamente grandiloquente, embora eu goste da ideia de que "um navio dourado bombeia felicidade". Pergunte aos alunos: O que esse pensamento significa? Mas o valor deste texto está em outro lugar. O número de letras nas palavras a seguir são os dígitos da extensão pi. Vamos ver:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX

Em 1596, um cientista holandês de origem alemã Ludolph van Seulen calculou o valor de pi com 35 casas decimais. Em seguida, essas figuras foram gravadas em seu túmulo. Ela dedicou um poema ao número pi e ao nosso Prêmio Nobel, Vislava Shimborska. Szymborska ficou fascinado com a não periodicidade desse número e o fato de que, com probabilidade 1, cada sequência de dígitos, como nosso número de telefone, ocorrerá ali. Enquanto a primeira propriedade é inerente a todo número irracional (que devemos lembrar da escola), a segunda é um fato matemático interessante que é difícil de provar. Você pode até encontrar aplicativos que oferecem: me dê seu número de telefone e eu te direi onde está em pi.

Onde há redondeza, há sono. Se tivermos um lago redondo, caminhar ao seu redor é 1,57 vezes mais longo do que nadar. Claro, isso não significa que nadaremos uma vez e meia a duas vezes mais devagar do que passaremos. Dividi o recorde mundial dos 100m com o recorde mundial dos 100m. Curiosamente, em homens e mulheres, o resultado é quase o mesmo e é de 4,9. Nadamos 5 vezes mais devagar do que corremos. O remo é completamente diferente - mas um desafio interessante. Tem um enredo bem longo.

Fugindo do vilão que o perseguia, o belo e nobre Bom Homem navegou até o lago. O vilão corre ao longo da costa e espera que ela o faça pousar. É claro que ele corre mais rápido do que Dobry rema e, se correr suavemente, Dobry é mais rápido. Portanto, a única chance do Mal é obter o Bem da costa - um tiro certeiro de revólver não é uma opção, porque. O Bem tem informações valiosas que o Mal quer saber.

Good adere à seguinte estratégia. Ele nada pelo lago, aproximando-se gradualmente da margem, mas sempre tentando ficar do lado oposto do Maligno, que corre aleatoriamente para a esquerda, depois para a direita. Isso é mostrado na figura. Deixe a posição inicial do mal ser Z₁, e Dobre é o meio do lago. Quando Zly se move para Z₁, Dobro navegará para D.₁quando Bad está em Z₂, bom em D₂. Fluirá em ziguezague, mas obedecendo à regra: o mais longe possível de Z. No entanto, à medida que se afasta do centro do lago, o Bem deve se mover em círculos cada vez maiores, e em algum ponto não pode aderir ao princípio “estar do outro lado do Mal”. Então ele remou com todas as suas forças até a margem, esperando que o Maligno não contornasse o lago. O Bem terá sucesso?

A resposta depende de quão rápido Good pode remar em relação ao valor das pernas de Bad. Suponha que o Homem Mau corra a uma velocidade s vezes a velocidade do Homem Bom no lago. Portanto, o círculo maior, no qual o Bem pode remar para resistir ao Mal, tem um raio uma vez menor que o raio de um lago. Então, no desenho nós temos. No ponto W, nossa espécie começa a remar em direção à costa. Isso deve ir 

 com velocidade

Ele precisa de tempo.

Wicked está perseguindo todos os seus melhores pés. Ele deve completar metade do círculo, o que levará segundos ou minutos, dependendo das unidades escolhidas. Se isso for mais do que um final feliz:

O bom vai. Contas simples mostram o que deveria ser. Se o Bad Man correr mais rápido que 4,14 vezes o Good Man, não terminará bem. E aqui também intervém nosso número pi.

O que é redondo é bonito. Vejamos a foto de três pratos decorativos - eu os tenho em homenagem aos meus pais. Qual é a área do triângulo curvilíneo entre eles? Esta é uma tarefa simples; a resposta está na mesma foto. Não nos surpreende que apareça na fórmula - afinal, onde há redondeza, há pi.

Eu usei uma palavra possivelmente desconhecida:. Esse é o nome do número pi na cultura de língua alemã, e tudo isso graças aos holandeses (na verdade, um alemão que morava na Holanda - a nacionalidade não importava naquela época), Ludolf de Seul... Em 1596 ele calculou 35 dígitos de sua expansão para decimal. Este recorde manteve-se até 1853, quando William Rutherford contou 440 lugares. O detentor do registro para cálculos manuais é (provavelmente para sempre) William Shanksque, após muitos anos de trabalho, publicou (em 1873) extensão para 702 dígitos. Somente em 1946, os últimos 180 dígitos foram considerados incorretos, mas assim permaneceu. 527 correto. Foi interessante encontrar o bug em si. Logo após a publicação do resultado de Shanks, eles suspeitaram que "algo estava errado" - havia suspeitamente poucos setes em desenvolvimento. A hipótese ainda não comprovada (dezembro de 2020) afirma que todos os números devem aparecer com a mesma frequência. Isso levou D.T. Ferguson a revisar os cálculos de Shanks e encontrar o erro do "aluno"!

Mais tarde, calculadoras e computadores ajudaram as pessoas. O atual detentor do recorde (dezembro de 2020) é Timothy Mullican (50 trilhões de casas decimais). Os cálculos levaram... 303 dias. Vamos brincar: quanto espaço ocuparia esse número, impresso em um livro padrão. Até recentemente, o "lado" impresso do texto era de 1800 caracteres (30 linhas por 60 linhas). Vamos reduzir o número de caracteres e as margens das páginas, empilhar 5000 caracteres por página e imprimir livros de 50 páginas. Então XNUMX trilhões de caracteres levariam dez milhões de livros. Nada mal, certo?

A questão é: qual é o ponto de tal luta? De um ponto de vista puramente econômico, por que o contribuinte deveria pagar por tal "entretenimento" dos matemáticos? A resposta não é difícil. Primeiro, de Seul espaços em branco inventados para cálculos, então útil para cálculos logarítmicos. Se lhe dissessem: por favor, construa espaços em branco, ele teria respondido: por quê? Da mesma forma comando:. Como você sabe, essa descoberta não foi inteiramente acidental, mas, no entanto, um subproduto de uma pesquisa de um tipo diferente.

Em segundo lugar, vamos ler o que ele escreve Timothy Mullican. Aqui está uma reprodução do início de seu trabalho. O professor Mullican está em segurança cibernética, e pi é um hobby tão pequeno que ele acabou de testar seu novo sistema de segurança cibernética.

E que 3,14159 em engenharia é mais que suficiente, isso é outro assunto. Vamos fazer um cálculo simples. Júpiter está a 4,774 Tm de distância do Sol (terâmetro = 1012 metros). Para calcular a circunferência de tal círculo com tal raio com uma precisão absurda de 1 milímetro, bastaria tomar π = 3,1415926535897932.

A foto a seguir mostra um quarto de círculo de peças de Lego. Eu usei 1774 pads e foi cerca de 3,08 pi. Não é o melhor, mas o que esperar? Um círculo não pode ser feito de quadrados.

Exatamente. O número pi é conhecido por ser círculo quadrado - um problema matemático que espera por sua solução há mais de 2000 anos - desde os tempos gregos. Você pode usar um compasso e uma régua para construir um quadrado cuja área seja igual à área do círculo dado?

O termo "quadrado de um círculo" entrou na linguagem falada como símbolo de algo impossível. Eu pressiono a tecla para perguntar, isso é algum tipo de tentativa de preencher a trincheira de hostilidade que separa os cidadãos de nosso belo país? Mas já evito esse tópico, porque provavelmente só sinto em matemática.

E novamente a mesma coisa - a solução para o problema da quadratura do círculo não apareceu de forma que o autor da solução, Charles Lindemann, em 1882 ele foi criado e finalmente sucedido. Até certo ponto sim, mas foi o resultado de um ataque de uma frente ampla. Os matemáticos aprenderam que existem diferentes tipos de números. Não apenas inteiros, racionais (ou seja, frações) e irracionais. A mensurabilidade também pode ser melhor ou pior. Podemos nos lembrar da escola que o número irracional é √2 - um número que expressa a razão entre o comprimento da diagonal de um quadrado e o comprimento de seu lado. Como qualquer número irracional, tem uma extensão indefinida. Deixe-me lembrá-lo que a expansão periódica é uma propriedade dos números racionais, ou seja, inteiros privados:

Aqui a sequência de números 142857 se repete indefinidamente. Para √2 isso não acontecerá - isso faz parte da irracionalidade. Mas você pode:

(fração continua para sempre). Vemos um padrão aqui, mas de um tipo diferente. Pi nem é tão comum. Não pode ser obtido resolvendo uma equação algébrica - isto é, uma em que não há raiz quadrada, nem logaritmo, nem funções trigonométricas. Isso já mostra que não é construtível - desenhar círculos leva a funções quadráticas, e linhas - retas - a equações de primeiro grau.

Talvez eu tenha me desviado da trama principal. Somente o desenvolvimento de toda a matemática tornou possível retornar às origens - à antiga e bela matemática dos pensadores que criaram para nós a cultura européia do pensamento, que hoje é tão duvidosa por alguns.

Dos muitos padrões representativos, escolhi dois. O primeiro deles associamos ao sobrenome Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Mas ele era conhecido (modelo, não Leibniz) pelo estudioso hindu medieval Madhava do Sangamagram (1350-1425). A transferência de informações naquela época não era boa - as conexões com a Internet costumavam apresentar erros e não havia baterias para telefones celulares (porque a eletrônica ainda não havia sido inventada!). A fórmula é bonita, mas inútil para cálculos. De cem ingredientes, obtém-se "apenas" 3,15159.

ele é um pouco melhor Fórmula de Viète (aquela das equações quadráticas) e sua fórmula é fácil de programar porque o próximo termo no produto é a raiz quadrada do anterior mais dois.

Sabemos que o círculo é redondo. Podemos dizer que esta é uma rodada 100%. O matemático perguntará: algo pode não ser 1% redondo? Aparentemente, isso é um oxímoro, uma frase que contém uma contradição oculta, como, por exemplo, gelo quente. Mas vamos tentar medir o quão redondas as formas podem ser. Acontece que uma boa medida é dada pela seguinte fórmula, na qual S é a área e L é a circunferência da figura. Vamos descobrir que o círculo é realmente redondo, que o sigma é 6. A área do círculo é a circunferência. A gente insere... e vê o que dá certo. Quão redondo é o quadrado? Os cálculos são tão simples, eu nem vou dar. Pegue um hexágono regular inscrito em um círculo de raio. O perímetro é obviamente XNUMX.

Pólo

Que tal um hexágono regular? Sua circunferência é 6 e sua área

Então nós temos

que é aproximadamente igual a 0,952. O hexágono é mais de 95% "redondo".

Um resultado interessante é obtido ao calcular a redondeza de um estádio esportivo. De acordo com as regras da IAAF, retas e curvas devem ter 40 metros de comprimento, embora desvios sejam permitidos. Lembro que o Estádio Bislet em Oslo era estreito e comprido. Escrevo “era” porque até corri nele (para um amador!), Mas há mais de XNUMX anos. Vamos dar uma olhada:

Se o arco tem um raio de 100 metros, o raio desse arco é metros. A área do gramado é de metros quadrados e a área externa (onde há trampolins) totaliza metros quadrados. Vamos colocar isso na fórmula:

Então, a redondeza de um estádio esportivo tem alguma coisa a ver com um triângulo equilátero? Porque a altura de um triângulo equilátero é o mesmo número de vezes o lado. É uma coincidência aleatória de números, mas é legal. Eu gosto disso. E os leitores?

Bem, é bom que seja redondo, embora alguns possam se opor porque o vírus que nos afeta a todos é redondo. Pelo menos é assim que eles desenham.