encanto reverso

Fala-se muito sobre o "encanto dos opostos", e não só na matemática. Lembre-se que os números opostos são aqueles que diferem apenas no sinal: mais 7 e menos 7. A soma dos números opostos é zero. Mas para nós (ou seja, matemáticos) as recíprocas são mais interessantes. Se o produto dos números for igual a 1, então esses números são inversos entre si. Todo número tem seu oposto, todo número diferente de zero tem seu inverso. O recíproco do recíproco é a semente.

A inversão ocorre sempre que duas quantidades estão relacionadas entre si, de modo que, se uma aumentar, a outra diminuirá em uma taxa correspondente. "Relevante" significa que o produto dessas quantidades não muda. Lembramos da escola: esta é uma proporção inversa. Se eu quiser chegar ao meu destino duas vezes mais rápido (ou seja, reduzir o tempo pela metade), preciso dobrar minha velocidade. Se o volume de um recipiente selado com gás for reduzido em n vezes, sua pressão aumentará n vezes.

No ensino fundamental, distinguimos cuidadosamente entre comparações diferenciais e relativas. "Quanto mais"? – “Quantas vezes mais?”

Seguem algumas atividades escolares:

Tarefa 1. Dos dois valores positivos, o primeiro é 5 vezes maior que o segundo e ao mesmo tempo 5 vezes maior que o primeiro. Quais são as dimensões?

Tarefa 2. Se um número é 3 maior que o segundo, e o segundo é 2 maior que o terceiro, quanto maior é o primeiro número que o terceiro? Se o primeiro número positivo é o dobro do segundo e o primeiro número é três vezes o terceiro, quantas vezes o primeiro número é maior que o terceiro?

Tarefa 3. Na tarefa 2, apenas números naturais são permitidos. É possível tal arranjo como descrito lá?

Tarefa 4. Dos dois valores positivos, o primeiro é 5 vezes o segundo e o segundo é 5 vezes o primeiro. É possível?

O conceito de "média" ou "média" parece muito simples. Se pedalei 55 km na segunda, 45 km na terça e 80 km na quarta, em média pedalei 60 km por dia. Concordamos plenamente com esses cálculos, embora sejam um pouco estranhos porque não rodei 60 km em um dia. Aceitamos com a mesma facilidade as ações de uma pessoa: se duzentas pessoas visitam um restaurante em seis dias, a diária média é de 33 e um terço de pessoas. HM!

Existem problemas apenas com o tamanho médio. Eu gosto de andar de bicicleta. Aproveitei então a oferta da agência de viagens “Vamos connosco” - entregam as malas no hotel, onde o cliente anda de bicicleta para fins recreativos. Na sexta-feira dirigi quatro horas: as duas primeiras a uma velocidade de 24 km por hora. Então fiquei tão cansado que pelos próximos dois a uma taxa de apenas 16 por hora. Qual foi a minha velocidade média? Claro (24+16)/2=20km=20km/h.

No sábado, porém, a bagagem foi deixada no hotel, e fui ver as ruínas do castelo, que fica a 24 km, e depois de vê-las, voltei. Dirigi uma hora em uma direção, voltei mais devagar, a uma velocidade de 16 km por hora. Qual foi minha velocidade média na rota hotel-castelo-hotel? 20 km por hora? Claro que não. Afinal, percorri um total de 48 km e levei uma hora (“lá”) e uma hora e meia de volta. 48 km em duas horas e meia, ou seja. hora 48/2,5=192/10=19,2 km! Nesta situação, a velocidade média não é a média aritmética, mas o harmônico dos valores dados:

e esta fórmula de dois andares pode ser lida da seguinte forma: a média harmônica de números positivos é o recíproco da média aritmética de seu recíproco. A recíproca da soma dos inversos aparece em muitos coros de tarefas escolares: se um trabalhador cava horas, o outro - b horas, então, trabalhando juntos, eles cavam na hora. piscina de água (uma por hora, a outra em b horas). Se um resistor tem R1 e o outro tem R2, então eles têm uma resistência paralela. 

Se um computador pode resolver um problema em segundos, outro computador em b segundos, então quando eles trabalham juntos...

Pare! Aqui termina a analogia, pois tudo depende da velocidade da rede: a eficiência das conexões. Os trabalhadores também podem atrapalhar ou ajudar uns aos outros. Se um homem pode cavar um poço em oito horas, oitenta trabalhadores podem fazê-lo em 1/10 de uma hora (ou 6 minutos)? Se seis carregadores levarem o piano ao primeiro andar em 6 minutos, quanto tempo levará um deles para entregar o piano ao sexagésimo andar? O absurdo de tais problemas traz à mente a aplicabilidade limitada de toda matemática a problemas "da vida".

Sobre um vendedor poderoso 

As escalas não são mais usadas. Lembre-se de que um peso foi colocado em uma tigela de tais balanças e os produtos pesados ​​\uXNUMXb\uXNUMXbforam colocados no outro e, quando o peso estava em equilíbrio, os produtos pesavam tanto quanto o peso. Obviamente, ambos os braços da carga de peso devem ter o mesmo comprimento, caso contrário, a pesagem será incorreta.

Oh, certo. Imagine um vendedor que tem um peso com alavancagem desigual. No entanto, ele quer ser honesto com os clientes e pesa a mercadoria em dois lotes. Primeiro, ele coloca um peso em uma panela e, na outra, uma quantidade correspondente de mercadorias - para que a balança fique equilibrada. Então ele pesa a segunda "metade" das mercadorias na ordem inversa, ou seja, ele coloca o peso na segunda tigela e as mercadorias na primeira. Como as mãos são desiguais, as "metades" nunca são iguais. E a consciência do vendedor está limpa, e os compradores elogiam sua honestidade: "O que eu tirei aqui, eu acrescentei".

Porém, vamos dar uma olhada no comportamento de um vendedor que quer ser honesto apesar do peso precário. Deixe os braços da balança terem comprimentos a e b. Se uma das tigelas for carregada com um quilograma e a outra com x mercadorias, então as balanças estarão em equilíbrio se ax = b na primeira vez e bx = a na segunda vez. Assim, a primeira parte da mercadoria é igual a b / a quilograma, a segunda parte é a / b. Bom peso tem a = b, então o comprador receberá 2 kg de mercadorias. Vejamos o que acontece quando a ≠ b. Então a – b ≠ 0 e da fórmula de multiplicação reduzida temos

Chegamos a um resultado inesperado: o método aparentemente justo de "avaliar a média" da medição neste caso funciona em benefício do comprador, que recebe mais mercadorias.

Atribuição 5. (Importante, de forma alguma em matemática!). Um mosquito pesa 2,5 miligramas e um elefante cinco toneladas (este é um dado bastante correto). Calcule a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica das massas de mosquitos e elefantes (pesos). Verifique os cálculos e veja se eles fazem algum sentido além dos exercícios aritméticos. Vejamos outros exemplos de cálculos matemáticos que não fazem sentido na "vida real". Dica: Já vimos um exemplo neste artigo. Isso significa que um estudante anônimo cuja opinião encontrei na Internet estava certa: “A matemática engana as pessoas com números”?

Sim, concordo que, na grandeza da matemática, você pode "enganar" as pessoas - cada segundo anúncio de xampu diz que aumenta a maciez em alguma porcentagem. Devemos procurar outros exemplos de ferramentas úteis do dia a dia que podem ser usadas para atividades criminosas?

Gramas!

O título desta passagem é um verbo (primeira pessoa do plural) não um substantivo (nominativo plural de um milésimo de quilograma). Harmonia implica ordem e música. Para os gregos antigos, a música era um ramo da ciência - deve-se admitir que, se assim o dissermos, transferimos o significado atual da palavra "ciência" para o tempo anterior à nossa era. Pitágoras viveu no século XNUMX aC Não só não conhecia computador, telefone celular e e-mail, como também não sabia quem eram Robert Lewandowski, Mieszko I, Carlos Magno e Cícero. Ele não sabia nem algarismos arábicos nem romanos (eles entraram em uso por volta do século V aC), ele não sabia o que eram as Guerras Púnicas ...

Ele sabia que em instrumentos de cordas os coeficientes de vibração eram inversamente proporcionais ao comprimento das partes vibrantes das cordas. Ele sabia, ele sabia, ele simplesmente não conseguia expressar da maneira que fazemos hoje.

As frequências das vibrações das duas cordas que compõem uma oitava estão na proporção de 1:2, ou seja, a frequência da nota aguda é o dobro da frequência da nota grave. A proporção de vibração correta para quinta é 2:3, quarta é 3:4, terça maior pura é 4:5, terça menor é 5:6. Estes são intervalos consonantais agradáveis. Depois, há dois neutros, com proporções de vibração de 6:7 e 7:8, depois dissonantes - um tom grande (8:9), um tom pequeno (9:10). Essas frações (razões) são como as razões de membros sucessivos de uma sequência que os matemáticos (por isso mesmo) chamam de série harmônica:

é uma soma teoricamente infinita. A razão das oscilações da oitava pode ser escrita como 2:4 e colocar uma quinta entre elas: 2:3:4, ou seja, vamos dividir a oitava em uma quinta e uma quarta. Isso é chamado de divisão do segmento harmônico em matemática:

Arroz. 1. Para um músico: dividindo a oitava AB na quinta AC.Para matemático: segmentação harmônica

O que quero dizer quando falo (acima) de uma soma teoricamente infinita, como a série harmônica? Acontece que essa soma pode ser qualquer número grande, o principal é que adicionamos por um longo tempo. Há cada vez menos ingredientes, mas há cada vez mais deles. O que prevalece? Aqui entramos no reino da análise matemática. Acontece que os ingredientes se esgotam, mas não muito rapidamente. Vou mostrar que, pegando ingredientes suficientes, posso resumir:

arbitrariamente grande. Vamos pegar "por exemplo" n = 1024. Vamos agrupar as palavras conforme mostrado na figura:

Em cada parêntese, cada palavra é maior que a anterior, exceto, é claro, a última, que é igual a si mesma. Nos parênteses a seguir, temos 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e 512 componentes; o valor da soma em cada parêntese é maior que ½. Tudo isso é mais do que 5½. Cálculos mais precisos mostrariam que esse valor é de aproximadamente 7,50918. Não muito, mas sempre, e você pode ver que, tomando n qualquer, posso superar qualquer número. Este é incrivelmente lento (por exemplo, estamos no top dez apenas com ingredientes), mas o crescimento infinito sempre fascinou os matemáticos.

Viagem ao infinito com a série harmônica

Aqui está um quebra-cabeça para uma matemática bastante séria. Temos um suprimento ilimitado de blocos retangulares (o que posso dizer, retangulares!) com dimensões, digamos, 4 × 2 × 1. Considere um sistema que consiste em vários (em FIG. 2 - quatro) blocos, dispostos de forma que o primeiro seja inclinado em ½ de seu comprimento, o segundo de cima em ¼ e ​​assim por diante, o terceiro em um sexto. Bem, talvez para torná-lo realmente estável, vamos inclinar o primeiro tijolo um pouco menos. Não importa para cálculos.

Arroz. 2. Determinando o centro de gravidade

Também é fácil entender que, como a figura composta pelos dois primeiros blocos (contando de cima) tem um centro de simetria no ponto B, então B é o centro de gravidade. Vamos definir geometricamente o centro de gravidade do sistema, composto pelos três blocos superiores. Um argumento muito simples é suficiente aqui. Vamos dividir mentalmente a composição de três blocos em dois superiores e um terceiro inferior. Este centro deve situar-se na secção que liga os centros de gravidade das duas partes. Em que momento deste episódio?

Existem duas maneiras de designar. No primeiro, usaremos a observação de que esse centro deve estar no meio da pirâmide de três blocos, ou seja, em uma linha reta que cruza o segundo bloco do meio. Na segunda maneira, entendemos que, como os dois blocos superiores têm uma massa total de duas vezes a de um único bloco #3 (topo), o centro de gravidade nesta seção deve estar duas vezes mais próximo de B do que do centro S do terceiro bloco. Da mesma forma, encontramos o próximo ponto: conectamos o centro encontrado dos três blocos com o centro S do quarto bloco. O centro de todo o sistema está na altura 2 e no ponto que divide o segmento por 1 a 3 (ou seja, por ¾ de seu comprimento).

Os cálculos que realizaremos um pouco mais adiante levam ao resultado mostrado na Fig. fig. 3. Centros de gravidade consecutivos são removidos da borda direita do bloco inferior por:

Assim, a projeção do centro de gravidade da pirâmide está sempre dentro da base. A torre não vai tombar. Agora vamos olhar FIG. 3 e por um momento, vamos usar o quinto bloco de cima como base (aquele marcado com a cor mais clara). Inclinado para cima:

assim, sua borda esquerda é 1 a mais que a borda direita da base. Aqui está o próximo balanço:

Qual é a maior oscilação? Nós já sabemos! Não existe maior! Tomando até os menores blocos, você pode obter uma saliência de um quilômetro - infelizmente, apenas matematicamente: a Terra inteira não seria suficiente para construir tantos blocos!

Arroz. 3. Adicione mais blocos

Agora os cálculos que deixamos acima. Vamos calcular todas as distâncias "horizontalmente" no eixo x, porque isso é tudo. O ponto A (o centro de gravidade do primeiro bloco) está a 1/2 da borda direita. O ponto B (o centro do sistema de dois blocos) está a 1/4 de distância da borda direita do segundo bloco. Deixe o ponto de partida ser o final do segundo bloco (agora vamos passar para o terceiro). Por exemplo, onde está o centro de gravidade do bloco único nº 3? Metade do comprimento deste bloco, portanto, é 1/2 + 1/4 = 3/4 do nosso ponto de referência. Onde fica o ponto C? Em dois terços do segmento entre 3/4 e 1/4, ou seja, no ponto anterior, mudamos o ponto de referência para a borda direita do terceiro bloco. O centro de gravidade do sistema de três blocos agora é removido do novo ponto de referência e assim por diante. Centro de gravidade C_n uma torre composta por n blocos está a 1/2n do ponto de referência instantâneo, que é a borda direita do bloco de base, ou seja, o enésimo bloco a partir do topo.

Como a série de recíprocos diverge, podemos obter qualquer grande variação. Isso poderia realmente ser implementado? É como uma torre de tijolos sem fim - mais cedo ou mais tarde ela desabará sob seu próprio peso. Em nosso esquema, as imprecisões mínimas no posicionamento dos blocos (e o lento aumento nas somas parciais da série) significa que não iremos muito longe.