Lem, Tokarchuk, Cracóvia, matemática

De 3 a 7 de setembro de 2019, ocorreu em Cracóvia o congresso de aniversário da Sociedade de Matemática Polonesa. Aniversário, porque o centenário da fundação da Sociedade. Existiu na Galiza desde os primeiros anos (sem o adjectivo de que o liberalismo polaco do imperador FJ1 tinha os seus limites), mas como organização de âmbito nacional funcionou apenas a partir de 1919. Os principais avanços na matemática polonesa datam dos anos 1919-1939 de XNUMX. XNUMX na Universidade Jan Casimir em Lviv, mas a convenção não poderia acontecer lá - e também não é a melhor ideia.

A reunião foi muito festiva, repleta de eventos (incluindo uma apresentação de Jacek Wojcicki no castelo de Niepolomice). As principais palestras foram proferidas por 28 palestrantes. Eles estavam em polonês porque os convidados eram poloneses - não necessariamente no sentido de cidadania, mas se reconhecendo como poloneses. Sim, apenas treze professores vieram de instituições científicas polonesas, os quinze restantes vieram dos EUA (7), França (4), Inglaterra (2), Alemanha (1) e Canadá (1). Bem, este é um fenômeno bem conhecido nas ligas de futebol.

Os melhores atuam constantemente no exterior. É um pouco triste, mas liberdade é liberdade. Vários matemáticos poloneses fizeram carreiras no exterior que são inatingíveis na Polônia. O dinheiro desempenha um papel secundário aqui, mas não quero escrever sobre esses tópicos. Talvez apenas dois comentários.

Na Rússia, e antes disso na União Soviética, isso estava e está no nível mais consciente... e de alguma forma ninguém quer emigrar para lá. Por sua vez, na Alemanha, cerca de uma dúzia de candidatos se candidatam a uma cátedra em qualquer universidade (colegas da Universidade de Konstanz disseram que tiveram 120 inscrições em um ano, das quais 50 foram muito boas e 20 excelentes).

Poucas das palestras do Congresso Jubileu podem ser resumidas em nosso jornal mensal. Títulos como "Limites de gráficos esparsos e suas aplicações" ou "Estrutura linear e geometria de subespaços e espaços fatoriais para espaços normalizados de alta dimensão" não dirão nada ao leitor médio. O segundo tópico foi introduzido pelo meu amigo dos primeiros cursos, Nicole Tomchak.

Há alguns anos, ela foi indicada pela conquista apresentada nesta palestra. Medalha Fields é o equivalente para matemáticos. Até agora, apenas uma mulher recebeu este prêmio. Destaque também para a palestra Anna Marcinyak-Chohra (Universidade de Heidelberg) "O papel dos modelos matemáticos mecanicistas na medicina no exemplo da modelagem de leucemia".

entrou na medicina. Na Universidade de Varsóvia, um grupo liderado pelo Prof. Jerzy Tyurin.

O título da palestra será incompreensível para os Leitores Veslava Niziol (z prestiżowej Escola Pedagógica Superior) “-teoria adic de Hodge". No entanto, é esta palestra que decidi discutir aqui.

Geometria - mundos adic

Começa com pequenas coisas simples. Você se lembra, Leitor, do método de troca escrita? Definitivamente. Pense nos anos despreocupados da escola primária. Divida 125051 por 23 (esta é a ação à esquerda). Você sabe que pode ser diferente (ação à direita)?

Este novo método é interessante. Eu vou do fim. Precisamos dividir 125051 por 23. Por quanto precisamos multiplicar 23 para que o último dígito seja 1? Pesquise na memória e tenha :=7. O último dígito do resultado é 7. Multiplique, subtraia, obtemos 489. Como você multiplica 23 para terminar com 9? Claro, por 3. Chegamos ao ponto em que determinamos todos os números do resultado. Achamos pouco prático e mais difícil do que nosso método usual - mas é uma questão de prática!

As coisas tomam um rumo diferente quando o homem corajoso não está completamente dividido pelo divisor. Vamos fazer a divisão e ver o que acontece.

À esquerda, uma típica pista escolar. À direita estão "nossos estranhos".

Podemos verificar ambos os resultados multiplicando. Entendemos o primeiro: um terço do número 4675 é mil quinhentos e cinquenta e oito, e três no período. A segunda não faz sentido: qual é esse número precedido por um número infinito de seis e depois 8225?

Deixemos por um momento a questão do significado. Vamos jogar. Então vamos dividir 1 por 3 e depois 1 por 7 que é um terço e um sétimo. Podemos obter facilmente:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Esta última linha significa: o bloco 285714 se repete indefinidamente no início e, finalmente, há três deles. Para quem não acredita, aqui está um teste:

Agora vamos somar frações:

Então somamos os números estranhos recebidos e obtemos (verifique) o mesmo número estranho.

......95238095238095238095238010

Podemos verificar que é igual a

A essência ainda está para ser vista, mas a aritmética está correta.

Mais um exemplo.

O usual, embora grande, número 40081787109376 tem uma propriedade interessante: seu quadrado também termina em 40081787109376. o número x40081787109376, que é (x40081787109376)² também termina em x40081787109376.

Dica. Temos 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, então o próximo dígito é o complemento de três a dez, que é 7. Vamos verificar: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

A questão de por que isso é assim é difícil. É mais fácil: encontre terminações semelhantes para números que terminam em 5. Continuando o processo de encontrar os próximos dígitos indefinidamente, chegaremos a tais "números" que ²=²= (e nenhum desses números é igual a zero ou um).

entendemos bem. Quanto mais distante após o ponto decimal, menos importante é o número. Nos cálculos de engenharia, o primeiro dígito após o ponto decimal é importante, assim como o segundo, mas em muitos casos pode-se supor que a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro seja 3,14. É claro que mais números precisam ser incluídos na indústria da aviação, mas não acho que haverá mais de dez.

O nome apareceu no título do artigo Stanislav Lem (1921-2006), bem como nosso novo Prêmio Nobel. Senhora Olga Tokarchuk Eu só mencionei isso porque gritando injustiçaO fato é que Stanislav Lem não recebeu o Prêmio Nobel de Literatura. Mas não está no nosso canto.

Lem muitas vezes previu o futuro. Ele se perguntou o que aconteceria quando eles se tornassem independentes dos humanos. Quantos filmes sobre este tema apareceram ultimamente! Lem previu e descreveu com bastante precisão o leitor óptico e a farmacologia do futuro.

Ele sabia matemática, embora às vezes a tratasse como um ornamento, não se importando com a exatidão dos cálculos. Por exemplo, na história "Trial", o piloto Pirks entra em órbita B68 com um período de rotação de 4 horas e 29 minutos, e a instrução é de 4 horas e 26 minutos. Ele lembra que calcularam com um erro de 0,3%. Ele entrega os dados para a Calculadora, e a calculadora responde que está tudo bem... Bem, não. Três décimos de um por cento de 266 minutos é menos de um minuto. Mas esse erro muda alguma coisa? Talvez tenha sido de propósito?

Por que estou escrevendo sobre isso? Muitos matemáticos também levantaram esta questão: imagine uma comunidade. Eles não têm nossa mente humana. Para nós, 1609,12134 e 1609,23245 são números muito próximos - boas aproximações da milha inglesa. No entanto, os computadores podem considerar os números 468146123456123456 e 9999999123456123456 próximos. Eles têm as mesmas terminações de doze dígitos.

Quanto mais dígitos comuns no final, mais próximos os números. E isso leva à chamada distância -ádico. Seja p igual a 10 por um momento; por que só “por um tempo”, vou explicar ... agora. A distância de 10 pontos dos números escritos acima é 

ou um milionésimo - porque esses números têm seis dígitos comuns no final. Todos os números inteiros diferem de zero por um ou menos. Não vou nem escrever um modelo porque não importa. Quanto mais números idênticos no final, mais próximos os números (para uma pessoa, ao contrário, são considerados os números iniciais). É importante que p seja um número primo.

Então - eles gostam de zeros e uns, então eles veem tudo nestes padrões: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

No romance Glos Pana, Stanisław Lem contrata cientistas para tentar ler uma mensagem enviada da vida após a morte, codificada zero-um, é claro. Alguém nos escreve? Lem argumenta que "qualquer mensagem pode ser lida se for uma mensagem de que alguém quis nos dizer alguma coisa". Mas é? Vou deixar os leitores com esse dilema.

Vivemos no espaço XNUMXD R³. Carta R lembra que os eixos são compostos por números reais, ou seja, inteiros, negativos e positivos, zero, racionais (ou seja, frações) e irracionais, que os leitores conheceram na escola (), e números conhecidos como números transcendentais, inacessíveis na álgebra (este é o número π , que liga o diâmetro de um círculo com sua circunferência há mais de dois mil anos).

E se os eixos do nosso espaço fossem números -ádicos?

Jerzy Mioduszowski, um matemático da Universidade da Silésia, argumenta que isso poderia ser assim, e até que poderia ser assim. Podemos (diz Jerzy Mioduszewski) ocupar o mesmo lugar no espaço com tais seres, sem interferir e sem nos vermos.

Então, temos toda a geometria do mundo "deles" para explorar. É improvável que “eles” pensem da mesma forma sobre nós e também estudem nossa geometria, porque o nosso é um caso limítrofe de todos os “seus” mundos. "Eles", isto é, todos os mundos infernais, onde são números primos. Em particular, = 2 e este fascinante mundo de zero-um...

Aqui o leitor do artigo pode ficar com raiva e até com raiva. "Esse é o tipo de bobagem que os matemáticos fazem?" Eles fantasiam em beber vodka depois do jantar, com o dinheiro do meu (=contribuinte). E dispersá-los em quatro ventos, deixá-los ir para fazendas estatais... ah, não há mais fazendas estatais!

Relaxar. eles sempre tiveram uma propensão para essas piadas. Deixe-me apenas mencionar o teorema do sanduíche: se eu tiver um sanduíche de queijo e presunto, posso cortá-lo em um corte para metade do pão, presunto e queijo. Isso é inútil na prática. O ponto é que esta é apenas uma aplicação lúdica de um teorema geral interessante da análise funcional.

Quão sério é lidar com números -ádicos e geometria relacionada? Deixe-me lembrar ao leitor que os números racionais (simplistamente: frações) estão densamente na linha, mas não a preenchem de perto.

Os números irracionais vivem em "buracos". Existem muitos, infinitamente muitos deles, mas você também pode dizer que sua infinidade é maior que a dos mais simples, em que contamos: um, dois, três, quatro ... e assim por diante até ∞. Este é o nosso preenchimento humano de "buracos". Herdamos essa estrutura mental de pitagóricos. 

Mas o que é interessante e importante para um matemático é que não se pode "preencher" esses buracos com números irracionais e p-ádicos (para todos os primos p). Para os leitores que entendem isso (e isso foi ensinado em todas as escolas secundárias há trinta anos), a questão é que toda sequência que satisfaz estado de Cauchy, converge.

Um espaço em que isso é verdade é chamado de completo ("nada está faltando"). Vou me lembrar do número 547721051611007740081787109376.

A sequência 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 e assim por diante converge para um certo limite, que é aproximadamente 0,5477210516110077400 81787109376.

No entanto, do ponto de vista da distância 10-ádica, a sequência dos números 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 e assim por diante também converge para o número "estranho" ... 547721051 611007740081787109376.

Mas mesmo isso pode não ser motivo suficiente para dar dinheiro público aos cientistas. Em geral, nós (matemáticos) nos defendemos dizendo que é impossível prever para que servirá nossa pesquisa. É quase certo que todos serão de alguma utilidade e que somente a ação em uma frente ampla tem chance de sucesso.

Uma das maiores invenções, a máquina de raios X, foi criada depois que a radioatividade foi descoberta acidentalmente Bekkerela. Se não fosse este caso, muitos anos de pesquisa provavelmente teriam sido inúteis. "Estamos procurando uma maneira de tirar um raio-x do corpo humano."

Por fim, o mais importante. Todos concordam que a capacidade de resolver equações desempenha um papel. E aqui nossos números estranhos estão bem protegidos. O teorema correspondente (eu odeio minkowski) diz que algumas equações podem ser resolvidas em números racionais se e somente se elas tiverem raízes e raízes reais em todo corpo -ádico.

Mais ou menos esta abordagem tem sido apresentada André Wiles, que resolveu a equação matemática mais famosa dos últimos trezentos anos - recomendo aos leitores que a insiram em um mecanismo de busca "Último Teorema de Fermat".