Quadrados coloridos e eclipses solares

O artigo descreve minhas aulas para alunos do ensino médio - bolsistas do Fundo Nacional da Criança. A fundação busca crianças e jovens especialmente superdotados (da XNUMXª série do ensino fundamental ao ensino médio) e oferece "bolsas de estudo" para alunos selecionados. No entanto, não consistem em sacar dinheiro, mas em cuidar integralmente do desenvolvimento de talentos, via de regra, ao longo de muitos anos. Ao contrário de muitos outros projetos deste tipo, cientistas de renome, figuras culturais, proeminentes humanistas e outros sábios, bem como alguns políticos, levam a sério os tutelados da Fundação.

As atividades da Fundação estendem-se a todas as disciplinas que são disciplinas básicas da escola, exceto esportes, incluindo arte. O fundo foi criado em 1983 como antídoto para a realidade da época. Qualquer pessoa pode se inscrever no fundo (geralmente por meio de uma escola, de preferência antes do final do ano letivo), mas, claro, há uma certa peneira, um certo procedimento de qualificação.

Como já mencionei, o artigo é baseado em minhas master classes, especificamente em Gdynia, em março de 2016, na 24ª escola secundária do III ensino médio. Marinha. Por muitos anos, esses seminários foram organizados sob os auspícios da Fundação por Wojciech Thomalczyk, um professor de extraordinário carisma e alto nível intelectual. Em 2008, entrou no top ten da Polônia, que recebeu o título de Professor de Pedagogia (previsto por lei há muitos anos). Há um leve exagero na afirmação: “A educação é o eixo do mundo”.

e a lua são sempre fascinantes - então você pode sentir que vivemos em um planeta minúsculo em um espaço enorme, onde tudo está em movimento, medido em centímetros e segundos. Até me assusta um pouco, também a perspectiva do tempo. Aprendemos que o próximo eclipse total, visível da área de Varsóvia de hoje, será em ... 2681. Eu me pergunto quem vai ver isso? Os tamanhos aparentes do Sol e da Lua em nosso céu são quase os mesmos - é por isso que os eclipses são tão curtos e tão espetaculares. Durante séculos, esses curtos minutos deveriam ser suficientes para os astrônomos verem a coroa solar. É estranho que eles aconteçam duas vezes por ano... mas isso significa apenas que em algum lugar da Terra eles podem ser vistos por um curto período de tempo. Como resultado dos movimentos das marés, a Lua está se afastando da Terra - em 260 milhões de anos ela estará tão distante que nós (nós???) veremos apenas eclipses anulares.

Aparentemente o primeiro a prever eclipse, foi Tales de Mileto (28-585 séculos aC). Provavelmente não saberemos se realmente aconteceu, ou seja, se ele o previu, pois o fato do eclipse na Ásia Menor ter ocorrido em maio de 567 de 566 aC é um fato confirmado por cálculos modernos. Claro, eu cito dados para a conta de tempo de hoje. Quando eu era criança, imaginava como as pessoas contavam os anos. Então isso é, por exemplo, XNUMX aC, a véspera de Ano Novo está chegando e as pessoas estão se regozijando: apenas XNUMX anos aC! Quão felizes devem ter ficado quando a “nossa era” finalmente chegou! Que virada de milênios experimentamos há alguns anos!

A matemática do cálculo de datas e intervalos eclipses, não é particularmente complicado, mas está repleto de todos os tipos de fatores associados à regularidade e, pior ainda, ao movimento desigual do corpo nas órbitas. Eu até gostaria de saber essa matemática. Como Tales de Mileto poderia fazer os cálculos necessários? A resposta é simples. Você deve ter um mapa do céu. Como fazer um mapa assim? Isso também não é difícil, os antigos egípcios sabiam como fazê-lo. À meia-noite, dois sacerdotes saem para o telhado do templo. Cada um deles se senta e desenha o que vê (como seu colega). Depois de dois mil anos, sabemos tudo sobre o movimento dos planetas...

Geometria bonita, ou diversão no "tapete"

Os gregos não gostavam de números, recorriam à geometria. Isto é o que faremos. Nosso eclipse eles serão simples, coloridos, mas igualmente interessantes e reais. Aceitamos a convenção de que a figura azul se move de tal maneira que eclipsa a vermelha. Vamos chamar a figura azul de lua e a figura vermelha de sol. Fazemos a nós mesmos as seguintes perguntas:

1. quanto tempo dura um eclipse;
2. quando metade do alvo estiver coberto;

   Arroz. 1 "tapete" multicolorido com o sol e a lua

3. qual é a cobertura máxima;
4. é possível analisar a dependência da cobertura do escudo no tempo? Neste artigo (estou limitado pela quantidade de texto), vou me concentrar na segunda pergunta. Por trás disso está uma bela geometria, talvez sem cálculos chatos. Vejamos a fig. 1. Pode-se presumir que estará associado a ... um eclipse solar?

Devo dizer honestamente que as tarefas que discutirei serão especialmente selecionadas, adaptadas aos conhecimentos e habilidades dos alunos do ensino fundamental e médio. Mas treinamos em tarefas como músicos tocam escalas e atletas fazem exercícios gerais de desenvolvimento. Além disso, não é apenas um lindo tapete (fig. 1)?

Arroz. 2 Lua "Azul" e Sol "Vermelho"

Nossos corpos celestes, pelo menos inicialmente, serão quadrados coloridos. A lua é azul, o sol é vermelho (melhor para colorir). com o presente eclipse A lua persegue o sol pelo céu, alcança... e o fecha. Será o mesmo conosco. O caso mais simples, quando a Lua se move em relação ao Sol, como mostrado na Fig. 2. Um eclipse começa quando a borda do disco da Lua toca a borda do disco do Sol (Fig. 2) e termina quando vai além dela.

Arroz. 3 A lua se aproxima do sol na diagonal

Assumimos que a "Lua" se move uma célula por unidade de tempo, por exemplo, por minuto. O eclipse então dura oito unidades de tempo, digamos minutos. Metade eclipses solares completamente escurecido A metade do mostrador é fechada duas vezes: após 2 e 6 minutos. O gráfico de porcentagem de obscurecimento é simples. Durante os primeiros dois minutos, a blindagem fecha uniformemente a uma taxa de zero a 1, nos próximos dois minutos ela é exposta na mesma taxa.

Aqui está um exemplo mais interessante (Fig. 3). A lua se aproxima do sol na diagonal. De acordo com nosso contrato de pagamento por minuto, o eclipse dura 8√2 minutos - no meio deste tempo temos um eclipse total. Vamos calcular que parte do sol é coberta após o tempo t (Fig. 3). Se t minutos se passaram desde o início do eclipse e, como resultado, a Lua é mostrada na Fig. 5, então (atenção!) Portanto, é coberto (a área do quadrado APQR), igual à metade do disco solar; portanto, foi coberto quando, ou seja, após 4 minutos (então 4 minutos antes do final do eclipse).

Arroz. 4 Gráfico da função "sombreamento"

Totalidade dura um momento (t = 4√2), e o gráfico da função "parte sombreada" consiste em dois arcos de parábolas (Fig. 4).

Nossa lua azul tocará o canto com o sol vermelho, mas o cobrirá, indo não na diagonal, mas ligeiramente na diagonal.Uma geometria interessante aparece quando complicamos um pouco o movimento (Fig. 6). A direção do movimento agora é o vetor [4,3], ou seja, "quatro células para a direita, três células para cima". A posição do Sol é tal que o eclipse começa (posição A) quando os lados dos "corpos celestes" convergem para um quarto do seu comprimento. Quando a Lua se move para a posição B, ela eclipsará um sexto do Sol e, na posição C, eclipsará a metade. Na posição D, temos um eclipse total, e então tudo volta, “como era”.

Arroz. 5 Parte do Sol escondida durante o tempo t

O eclipse termina quando a Lua está na posição G. Durou tanto quanto comprimento da seção AG. Se, como antes, tomarmos como unidade de tempo o tempo durante o qual a Lua passa "um quadrado", então o comprimento do AG é igual. Se voltássemos à velha convenção de que nossos corpos celestes são 4 por 4, o resultado seria diferente (o quê?). Como é fácil de mostrar, o alvo fecha após t < 15. O gráfico da função “porcentagem de cobertura da tela” pode ser visto na fig. 6.

Arroz. 6 Gráfico da função "proteção percentual"

Eclipse e equação de salto

Arroz. 7 Obstrução do disco solar durante o eclipse mostrado na fig. 6

O problema dos eclipses estaria incompleto se não considerássemos o caso dos círculos. Isso é muito mais complicado, mas vamos tentar descobrir quando um círculo eclipsa metade do outro - e no caso mais simples, quando um deles se move ao longo do diâmetro que os conecta. O desenho é familiar para os titulares de algum cartão de crédito.

Calcular a posição dos campos é complicado, pois requer, em primeiro lugar, o conhecimento da fórmula da área de um segmento circular, em segundo lugar, o conhecimento do arco do ângulo e, em terceiro lugar (e pior de tudo), a habilidade para resolver uma certa equação de salto. Não vou explicar o que é uma "equação transitiva", vejamos um exemplo (Fig. 8).

Arroz. 8 Eclipse "esférico"

Uma seção circular é o "copo" que resta depois de cortar um círculo com uma linha reta. A área de tal segmento é S = 1/2r²(φ-senφ), onde r é o raio do círculo e φ é o ângulo central sobre o qual o segmento repousa (Fig. 8). Isso é facilmente obtido subtraindo a área do triângulo da área do setor circular.

Episódio O₁O₂ (a distância entre os centros dos círculos) é então igual a 2rcosφ/2, e a altura (largura, “cintura”) h = 2rsinφ/2. Então, se quisermos calcular quando a Lua cobrirá metade do disco solar, precisamos resolver a equação: que, após simplificação, fica:

Arroz. 9 Gráficos de duas funções

A solução de tais equações vai além da álgebra simples - a equação contém ambos os ângulos e suas funções trigonométricas. A equação está além do alcance dos métodos tradicionais. Por isso se chama pular. Vamos primeiro olhar para os gráficos de ambas as funções, ou seja, funções e funções. Podemos ler uma solução aproximada desta figura. No entanto, podemos obter uma aproximação iterativa ou… usar a opção Solver na planilha do Excel. Todo estudante do ensino médio deveria ser capaz de fazer isso, porque estamos no século 20. Eu usei uma ferramenta mais sofisticada do Mathematica e aqui está nossa solução com XNUMX casas decimais de precisão desnecessária:

SetPrecision [FindRoot [x == Sin [x] + Pi / 2, {x, 2}], 20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Arroz. 10 Animação de eclipse em matematica

Transformamos isso em graus multiplicando por 180/π. Temos 132 graus, 20 minutos, 45 e um quarto de segundo de arco. Calculamos que a distância ao centro do círculo é O₁O₂ = 0,808 raio e "cintura" 2,310.