Adivinhe em qual mão está a bola de ouro
Na era pré-Covid (oh, quando foi isso?) uma vez me pediram para participar da "escola verde". Para além do descanso adequado, o encontro foi dedicado à matemática, nomeadamente à esfera e às suas propriedades. Este tópico geralmente é omitido na escola porque... bem, não sei por quê.
Depois disso, nem mesmo os estudantes de geologia sabem o que é longitude (a verdade aconteceu comigo - dei uma palestra no departamento apropriado da universidade). A reunião foi extremamente bem-sucedida, palmas para a liderança e os três professores que organizaram tudo. Ensinar não é apenas transferir conhecimento em incrementos de 45 minutos, das 8h às XNUMXh ou XNUMXh. Bem, agora tudo é diferente com o ensino a distância. Mais e mais professores estão discutindo como mudar o sistema tradicional de sala de aula para... e daí? Lembre-se de que estamos experimentando um "organismo vivo" - crianças. Onde está a bola dourada que contém a sabedoria da vida?
Estou analisando as inscrições de estudantes para uma bolsa de estudos do National Children's Fund para crianças excepcionalmente superdotadas. Sempre havia muitas mensagens de Leszno. Eles estavam naquele ano, mas cada segundo filho (um aluno das séries mais baixas) escrevia: "Desde que minha professora, a Sra. I., foi embora, perdi o interesse pela matemática". No entanto, houve muitos pedidos de Lublin, que até agora foram pouco apresentados. Um enigma para os leitores: para qual cidade a Sra. I. de Leshno se mudou? Para Lublin? Sim, mas como vocês chegaram a isso, leitores?
A superfície de uma esfera é uma esfera (do latim esfera 'bola, céu'). Esse termo matemático entrou na linguagem coloquial: estamos falando das esferas de influência das grandes potências, da esfera dos próprios interesses e das esferas sociais. “Oh, ela não é da nossa esfera”, disse a condessa a esta bela camponesa por quem o jovem senhor havia se apaixonado. E então todos imaginaram a sociedade como conchas concêntricas, impenetráveis umas para as outras: por um lado, estamos na melhor companhia, claro, por outro, esta pobre menina e até a geometria diz “Cinderela: fique onde está!”.
Não é difícil ficar fascinado com a forma esférica. Basta estar a céu aberto à noite, longe das cidades, de preferência em uma montanha alta no inverno. Olhemos para cima: não vemos claramente a esfera celeste? Estrelas distantes se juntam a ele, contra seu fundo, corpos celestes errantes se movem ao longo de esferas mais próximas: planetas. Ptolomeu ensinou que a Terra é o centro do universo e é cercada por nove esferas de cristal concêntricas.
Nos sete primeiros há sete planetas conhecidos: Diana (= Lua), Mercúrio, Vênus, Apolo (= Sol), Marte, Júpiter e Saturno. A oitava esfera continha as estrelas fixas. As nove horas eram como uma maçaneta que regula o movimento do relógio: o equinócio da primavera movia-se ao longo deles. Na Idade Média, uma décima esfera foi adicionada a este sistema: o Primeiro Motor, como uma mola, tudo se movendo, uma força motriz, uma casca dura que separa o mundo da inexistência. Os pitagóricos acreditavam na harmonia das esferas - que os planetas movendo-se por suas esferas emitiam sons extremamente agradáveis. Afinal, o mundo é um número e uma música.
Na Olimpíada de Matemática para escolares, que organizamos na referida escola verde, a competição foi acirrada duas equipes. Bem, um ganhou (33:31), o outro perdeu. Como nos esportes.
O algoritmo para dividir os iniciantes em duas equipes é tão interessante do ponto de vista matemático que vou me debruçar sobre ele em detalhes. O problema aqui, claro, é a qualificação igual de equipes fortes e fracas. Mas o que é estável? Aparentemente, a melhor escolha é aleatória: cada jogador pega um pedaço de papel com as palavras 1 ou 2 da caixa e vai para o time apropriado. Mas… se você jogar uma moeda 10 vezes, apenas 25% das vezes o resultado será 5:5, que é cinco caras e cinco caras. Então, vemos que com uma probabilidade de 75% as equipes serão desiguais.
Há uma forma flagrantemente injusta em que dois anteriormente nomeados capitães escolhem os membros de sua equipe um após o outro: uma vez você, então eu. O primeiro capitão tem sempre a vantagem, pode escolher o melhor dos restantes. Da mesma forma, no futebol, o vencedor de uma partida de copa é determinado a partir de uma marca de pênalti. Uma equipe sempre atira primeiro. As coisas são melhores no tênis, onde o sacador está sempre na melhor posição. Em um jogo de tie-break, após o primeiro saque de A, o segundo saca duas vezes, depois A duas vezes e depois dois saques, alternando B, A, ... com uma vantagem de dois pontos de vitória.
Este método também não é muito adequado para selecionar duas equipes de alunos. O método que descreverei foi criado por matemáticos a partir de uma ideia retirada do chamado algoritmo de Steinhaus. É comumente usado em partidas de matemática, como preliminares pré-olímpicas. Curiosamente, usamos um sistema muito parecido no meu quintal quando queríamos “jogar futebol” na então vazia praça atrás da casa. Havia muitos meninos (venho da primeira onda do baby boom do pós-guerra).
O algoritmo é assim. A moeda decide qual dos capitães (A ou B) será escolhido primeiro. Que seja A. Ele aponta para o jogador, e agora (atenção!) o Capitão B decide se este jogador irá para o primeiro ou segundo time. E assim alternadamente. Um seleciona o jogador, o outro o nomeia. A segunda indica que a primeira se destaca.
Observe as dificuldades psicológicas. Se o capitão A escolher o melhor, B o adicionará imediatamente à sua equipe. Se apontar para o mais fraco, B dirá: “muito bom, leve-o”... mas depois de um tempo os papéis serão invertidos. Então, como você joga?
Uma certa quantidade de engenharia social e psicologia social ajuda aqui. Especialmente quando os jovens estão envolvidos na seleção, gostos e desgostos são muito importantes, e não apenas um “nível” indefinido. Em particular, depois de selecionar qualquer um dos jogadores como capitão A, o capitão B avalia se o referido companheiro de equipe (amigo indicado) está subjetivamente na metade superior ou inferior dos participantes. Eu o quero ou o deixo ir para A? Eu tenho uma escolha. Se vejo o membro especificado na metade superior, eu o acolho, e se vejo o membro especificado na metade inferior, eu o deixo. A função está mudando, agora as pontuações B e A se qualificam. Ele faz o mesmo. Se ele avalia bem a pessoa indicada, então ele o leva para o lado pessoal, se ele se engana, ele sai. Dessa forma, todo capitão fica melhor (ou pelo menos igual!) a cada vez. Todos acham que ele fez a melhor escolha, que seu time é melhor. A matemática pode agradar às pessoas mesmo em assuntos tão delicados.
Foi com essas perguntas que os competidores da minha escola verde lutaram. Como você pode ver, existem algumas perguntas. não matemático, desafiador e divertido.
- O que é loxodromo?
- Você tem 20 bolas. Qual é a altura do tetraedro que pode ser feito deles? Quantas bolas você precisa para um tetraedro de 10 camadas?
- Saí da barraca. Caminhei um quilômetro a oeste, depois um quilômetro ao norte, depois um quilômetro ao sul. Foi assim que acabei na minha barraca. Um urso sentou-se à sua frente. De que cor era?
- Quantas bolas de diâmetro 1 cabem em uma bola de diâmetro 2?
- Classifique da menor para a maior bola usada nos seguintes esportes: tênis, tênis de mesa, futebol, vôlei, basquete, pólo aquático.
- Qual bola não é esférica nem oval (como no rugby ou no futebol americano)?
- Liste provérbios e ditados relacionados à bola.
- Invente uma piada que comece com as palavras "Uma bala voa para o médico".
- Uma esfera está inscrita em um cubo com um lado de 1 metro. Há espaço suficiente para uma bola de 20 cm no canto?
- Um cubo de 1 polegada pode caber em uma esfera de 1 centímetro de raio?
- Como você sabe, no passado, as balas de canhão eram de fato esféricas. Hoje não são. O que fez você mudar a forma dos foguetes?
- O volume da esfera é p2 centímetros cúbicos. Calcule sua área de superfície.
- Este é um círculo com um raio
pode estar em uma esfera de raio
- O recipiente B contém 100 bolas brancas, o recipiente C contém 100 bolas pretas. Selecionamos aleatoriamente 10 bolas do recipiente B e as colocamos em C. Das 110 bolas atualmente em C, selecionamos aleatoriamente 10 e as colocamos em B. Há mais bolas pretas em B ou brancas em C?
- Que forma pode ser a sombra da bola?
- Qual paralelo na Terra tem metade do comprimento do equador?
- O planeta T está uniformemente coberto de grama. Em algum ponto do planeta, uma cabra está amarrada. Qual deve ser o comprimento da corrente para que a cabra alcance exatamente metade da grama do planeta?
- No poema, Pan Tadeusz Stolnik foi baleado. Cujo rifle foi atingido por uma bala?
- Quantas palavras de quatro letras (significativas ou não) podem ser formadas reorganizando as letras na palavra KULA?
- Existe uma bola tocando todas as arestas do cubo? Em caso afirmativo, calcule seu raio. Se não, justifique.
Comentários. Proponho descobrir (a partir de qual Internet?) O que é Loxodrome.
A tarefa 2 é bastante difícil. Vinte bolas idênticas podem ser transformadas em um tetraedro 10 + 6 + 3 + 1 (dez bolas na parte inferior, depois seis, três e uma). Esse bloco tem quatro camadas, mas é menos de quatro vezes o diâmetro de cada esfera - as bolas caem nos recessos do piso inferior.
Mas vou discutir este desafio... eu não vou decidir. Vou deixar isso para o leitor disposto. Refiro-me, entre outros, ao meu amigo Kazimierz de Szczecin. Kaziu - você definitivamente vai gostar. Afinal, associamos a tarefa à escola. Este é o cacho que vemos na foto. Estas laranjas ficaram muito boas... Qualquer vendedor sabe que o melhor é colocar maçãs, laranjas, limões e outras frutas duras assim (os tomates podem esfarelar). Bem, foi apenas no final do século passado que o problema colocado por Johannes Kepler em 1610 foi resolvido, ou seja, como mostrar matematicamente que este é realmente o melhor caminho. Mais precisamente, esferas iguais ocupam o menor lugar no espaço com esse arranjo. Isso é pouco menos de 75 por cento. Este é um problema matemático interessante porque ocorre em grandes espaços, mas isso é novamente um tópico para outro artigo.
A escola que eu frequentei, bem, há um bom tempo, ainda tinha onze anos. Na penúltima, décima série, o ano todo era principalmente geometria e trigonometria. Lembro-me do conjunto de problemas de Henryk Paśniewski - o que não estava lá? Tetraedros, prismas e pirâmides são cortados de todas as formas possíveis. Ah, sim, muletas eram poucas. Porque é difícil, até desenhar não é fácil.
Desde então, a trigonometria na escola ficou muito truncada, degenerada. Como qualquer velho, tendo a lembrar que tudo “então” era melhor. Isto, com certeza, não é verdade. De jeito nenhum. A trigonometria não é mais tão necessária no trabalho diário de um engenheiro e agrimensor. As torres de triangulação de madeira nos picos das montanhas não são mais necessárias. Um dos maiores edifícios estava localizado em Lyuban, na rua Kroshchenko. Ele até tinha um nome de montanha "pátria". Ok, chega dessas digressões. Vejamos a foto. Primeiro, determinamos o comprimento do segmento s. É um ângulo de 60 graus. De AC encontramos BC, então a altura BH. Mas esta é a altura da parede lateral da nossa pirâmide laranja. A partir daqui, a altura da pirâmide é obtida multiplicando o HV pelo seno do ângulo de inclinação da parede à base, que ... também precisa ser calculado, mas isso é fácil e padrão.
Posso dizer que "tarefa resolvida". Infelizmente, associo isso ao ensino a distância cada vez mais difundido. Sento-me em frente ao ecrã e "converso com a imagem", e os alunos - porque eu os ensino - têm de trabalhar de acordo com as minhas instruções. Enfim, foi assim que aprendi Microsoft Teams, Inspery e outros gadgets para conduzir essas aulas. O instrutor estava em casa, eu estava em casa, todo mundo estava tomando seu café, ele estava "falando com a foto" e eu tentava imitar.
→ Na escola onde leciono, eles já sabem que mesmo quando a “normalidade voltar”, as palestras continuarão com o mesmo espírito. Este formulário tem muitas vantagens. Este é um tema para outro artigo. Isso torna ainda melhor para aqueles que... querem aprender.
→ Infelizmente, não são tantos quanto nos parece, professores. Demorei para enviar este artigo ao editor, mas se você está lendo isso, acabou bem. Ou seja, fiquei frustrado com o comportamento dos calouros, a quem dei muita liberdade durante o exame. Vou tirar conclusões e os métodos "policiais" retornarão. E meu humor fez com que, em vez de terminar o texto, fosse dar uma longa caminhada pelos campos nevados perto de Varsóvia. Estava frio, eu estava com frio...
→ Vamos voltar à competição com a bola. A pergunta 6 pode ser respondida com uma serra ou uma bola de pingue-pongue esmagada. A melhor piada (tarefa 8) foi aquela em que a bala reclama com o médico: "Não sei o que há de errado comigo, mas estou completamente confuso". Houve também uma boa, em que a bala se queixava de dores radiantes e que estava estourando de diâmetro. O provérbio associado à bola (tarefa 7) está colocado no título do artigo, também sabemos o que é a bola aos pés (isto é a Terra, certo?). A tarefa cor de urso tem uma barba longa (claro, o urso era branco, porque tal rota só é possível nas regiões polares).
As balas de canhão (problema 11) não são mais esféricas porque podemos fazer barris rosqueados, o que dá movimento rotacional ao projétil.
A questão 13 acabou por ser interessante, depois até entreguei aos alunos. Eles tentaram fazer cálculos que não eram muito sensatos, ficaram horrorizados com o elemento em 17. Enquanto isso, a tarefa é trivial. Uma esfera com um determinado raio é pequena, enquanto um círculo é grande. Não vai caber. Para a pergunta 18, a resposta correta era: um moscovita cujo rifle Jacek Soplica arrebatou. Os alunos responderam incorretamente: Jacek.
Voltarei à esfera, porque ela me atrai muito. E a prova é a seguinte “ode ao esférico”.
Kulo! Você é minha! Grande ou pequeno
Você é o mesmo no final.
Eu quero cantar toda a sua beleza hoje.
Eu posso fazer equações. Mas vou escrever uma ode!
Quanto apreciar, ele só saberá
Quem te viu. Mas sua beleza em toda sua decoração
Aqueles que estudaram na escola verde em Slavkov vão gostar!
Sua beleza se estende do centro às bordas!
Todos são igualmente atraídos pela sua geometria.
Eu sou de uma criança pequena, de um pré-escolar,
Eu sempre quis entender por que você é assim.
Como soaram dolorosas essas palavras paternas:
“Você saberá quando crescer. Hoje você é muito pequeno!
Quando eu era um menino e uma criança inocente
Quatro terços queriam saber seu segredo
E quão profundo o coração era profundo
Quando eu queria sua praça secreta de quatro andares.
Eu engoli muita juventude fugaz
Integrando suas rodadas básicas no pensamento,
E quando o rosto do jovem estava coberto de barba por fazer,
Eu vi um triângulo com três ângulos retos
Ela tem. E imediatamente pude decifrar o quão bonita ela é.
A geometria da superfície é elíptica.
E como o jovem foi influenciado pela Oscom,
Quando ela finalmente me mostrou sua linha de rumo
O que é cada meridiano?
No mesmo ângulo de corte... e segue que
Que o comprimento da curva cresce ao infinito,
E que ambos os pólos estão entrelaçados com amor.
Mais tarde, olhando para o seu tensor de Riemann
Calculei as áreas dos campos até a manhã
E em sua superfície graciosamente chamada de esfera,
As curvas principais nunca chegaram a zero.
Então permaneça fiel a mim, inabalável, homogênea,
Tão fofo e engraçado em todos os sentidos.
Sempre deixe apenas seções redondas!
Mais de uma vez meu coração vai ansiar por você.
Deixe os jovens agora, sem conhecer os cabelos grisalhos,
Eles estudam suas curvas, desconhecidas de Gauss.
