ENTÃO PARA QUEM, isto é: TENTE ONDE VOCÊ PODE - parte 2

No episódio anterior, tratamos do Sudoku, um jogo aritmético em que os números são basicamente organizados em vários diagramas de acordo com certas regras. A variante mais comum é um tabuleiro de xadrez 9×9, adicionalmente dividido em nove células 3×3. Os números de 1 a 9 devem ser colocados nele para que não se repitam nem na linha vertical (os matemáticos dizem: em uma coluna) nem na horizontal (os matemáticos dizem: em uma linha) - e, além disso, para que eles não se repetem. repita dentro de qualquer quadrado menor.

Na FIG. 1 vemos esse quebra-cabeça em uma versão mais simples, que é um quadrado 6 × 6 dividido em retângulos 2 × 3. Inserimos os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 nele - para que eles não se repitam verticalmente, nem horizontalmente, nem em cada um dos hexágonos selecionados.

Vamos tentar mostrado no quadrado superior. Você pode preenchê-lo com números de 1 a 6 de acordo com as regras definidas para este jogo? É possível - mas ambíguo. Vejamos - desenhe um quadrado à esquerda ou um quadrado à direita.

Podemos dizer que esta não é a base do quebra-cabeça. Geralmente assumimos que um quebra-cabeça tem uma solução. A tarefa de encontrar diferentes bases para o "grande" Sudoku, 9x9, é uma tarefa difícil e não há chance de resolvê-la completamente.

Outra conexão importante é o sistema contraditório. O quadrado central inferior (aquele com o número 2 no canto inferior direito) não pode ser concluído. Por que?

Diversão e retiros

Nós jogamos. Vamos usar a intuição das crianças. Eles acreditam que o entretenimento é uma introdução ao aprendizado. Vamos para o espaço. ligado FIG. 2 todo mundo vê a grade tetraedrode bolas, por exemplo, bolas de pingue-pongue? Lembre-se das aulas de geometria da escola. As cores do lado esquerdo da imagem explicam o que é colado ao montar o bloco. Em particular, três bolas de canto (vermelhas) serão coladas em uma. Portanto, eles devem ser o mesmo número. Talvez 9. Por quê? E porque não?

Oh, eu não expressei isso задачи. Soa mais ou menos assim: é possível inscrever os números de 0 a 9 na grade visível de modo que cada face contenha todos os números? A tarefa não é difícil, mas o quanto você precisa imaginar! Não vou estragar o prazer dos leitores e não vou dar uma solução.

Esta é uma forma muito bonita e subestimada. octaedro regular, construída a partir de duas pirâmides (=pirâmides) com base quadrada. Como o nome sugere, o octaedro tem oito faces.

Há seis vértices em um octaedro. Isso contradiz cuboque tem seis faces e oito vértices. As bordas de ambos os pedaços são iguais - doze cada. Esse sólidos duplos - isso significa que, conectando os centros das faces do cubo, obtemos um octaedro, e os centros das faces do octaedro nos darão um cubo. Ambos os solavancos funcionam ("porque eles precisam") Fórmula de Euler: A soma do número de vértices e o número de faces é 2 a mais que o número de arestas.

3. Um octaedro regular em projeção paralela e uma rede octaedro composta de esferas de tal forma que cada aresta tenha quatro esferas.

Tarefa 1. Primeiro, escreva a última frase do parágrafo anterior usando uma fórmula matemática. No FIG. 3 você vê uma grade octaédrica, também composta de esferas. Cada aresta tem quatro bolas. Cada face é um triângulo de dez esferas. O problema é definido de forma independente: é possível colocar números de 0 a 9 nos círculos da grade para que, após colar um corpo sólido, cada parede contenha todos os números (segue isso sem repetição). Como antes, a maior dificuldade nesta tarefa é como a malha é transformada em um corpo sólido. Não posso explicá-lo por escrito, por isso também não estou dando a solução aqui.

4. Dois icosaedros de bolas de pingue-pongue. Observe o esquema de cores diferente.

já Platão (e ele viveu nos séculos XNUMX e XNUMX aC) conhecia todos os poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro i icosaedro. É incrível como ele chegou lá - sem lápis, sem papel, sem caneta, sem livros, sem smartphone, sem internet! Não vou falar sobre o dodecaedro aqui. Mas o sudoku icosaédrico é interessante. Vemos esse caroço ilustração 4e sua rede fig. 5.

5. Malha regular do icosaedro.

Como antes, esta não é uma grade no sentido em que lembramos (?!) da escola, mas uma maneira de colar triângulos de bolas (bolas).

Tarefa 2. Quantas bolas são necessárias para construir tal icosaedro? O seguinte raciocínio permanece correto: como cada face é um triângulo, se houver 20 faces, então serão necessárias até 60 esferas?

6. Grade de um icosaedro de esferas. Cada círculo é, por exemplo, uma bola de pingue-pongue, mas a construção de círculos em círculos marcados com a mesma cor se funde em um. Então temos doze esferas (= doze vértices: vermelho, azul, roxo, azul e oito amarelo).

É fácil ver que três números no icosaedro não são suficientes. Mais precisamente: é impossível enumerar vértices com números 1, 2, 3 para que cada face (triangular) tenha esses três números e não haja repetições. É possível com quatro números? Sim, é possível! Vamos olhar para Arroz. 6 e 7.

7. Aqui está como numerar as esferas que compõem o icosaedro de modo que cada face contenha números diferentes de 1, 2, 3, 4. Qual dos corpos na fig. 4 é colorido assim?

Tarefa 3. Três dos quatro números podem ser escolhidos de quatro maneiras: 123, 124, 134, 234. Encontre cinco desses triângulos no icosaedro da fig. 7 (assim como de ilustrações 4).

Atribuição 4 (requer imaginação espacial muito boa). O icosaedro tem doze vértices, o que significa que pode ser colado a partir de doze bolas (FIG. 7). Observe que existem três vértices (=bolas) rotulados com 1, três com 2 e assim por diante. Assim, bolas da mesma cor formam um triângulo. O que é esse triângulo? Talvez equilátero? Olhe novamente ilustrações 4.

A próxima tarefa para o avô/avó e neto/neta. Os pais podem finalmente tentar a sorte também, mas precisam de paciência e tempo.

Tarefa 5. Compre doze (de preferência 24) bolas de pingue-pongue, umas quatro cores de tinta, um pincel e a cola certa - não recomendo as rápidas como Supercola ou Droplet porque secam rápido demais e são perigosas para as crianças. Cole o icosaedro. Vista sua neta com uma camiseta que será lavada (ou jogada fora) imediatamente depois. Cubra a mesa com papel alumínio (jornal é melhor). Pinte cuidadosamente o icosaedro com quatro cores 1, 2, 3, 4, conforme mostrado na fig. FIG. 7. Você pode alterar a ordem - primeiro pinte os balões e depois cole-os. Ao mesmo tempo, pequenos círculos devem ser deixados sem pintura para que a tinta não grude na tinta.

Agora a tarefa mais difícil (mais precisamente, toda a sua sequência).

Atribuição 6 (Mais especificamente, o tema geral). Trace o icosaedro como um tetraedro e um octaedro Arroz. 2 e 3 Isso significa que deve haver quatro bolas em cada borda. Nesta variante, a tarefa é demorada e até cara. Vamos começar descobrindo quantas bolas você precisa. Cada face tem dez esferas, então o icosaedro precisa de duzentas? Não! Devemos lembrar que muitas bolas são compartilhadas. Quantas arestas tem um icosaedro? Pode ser calculado meticulosamente, mas para que serve a fórmula de Euler?

w–k+s=2

onde w, k, s são o número de vértices, arestas e faces, respectivamente. Lembramos que w = 12, s = 20, o que significa k = 30. Temos 30 arestas do icosaedro. Você pode fazer diferente, porque se houver 20 triângulos, eles terão apenas 60 arestas, mas duas delas são comuns.

Vamos calcular quantas bolas você precisa. Em cada triângulo há apenas uma bola interna - nem na parte superior do nosso corpo, nem na borda. Assim, temos um total de 20 dessas bolas. São 12 picos. Cada aresta tem duas bolas não vértice (elas estão dentro da aresta, mas não dentro da face). Como existem 30 arestas, existem 60 bolinhas, mas duas delas são compartilhadas, o que significa que você só precisa de 30 bolinhas, então você precisa de um total de 20 + 12 + 30 = 62 bolinhas. As bolas podem ser compradas por pelo menos 50 centavos (geralmente mais caras). Se você adicionar o custo da cola, vai sair... muito. Uma boa ligação requer várias horas de trabalho meticuloso. Juntos, eles são adequados para um passatempo relaxante - eu os recomendo em vez de, por exemplo, assistir TV.

Digressão 1. Na série de filmes Years, Days, de Andrzej Wajda, dois homens jogam xadrez "porque precisam passar o tempo até o jantar". Tem lugar na Cracóvia galega. De fato: os jornais já foram lidos (então tinham 4 páginas), a TV e o telefone ainda não foram inventados, não há jogos de futebol. Tédio nas poças. Em tal situação, as pessoas inventavam entretenimento para si mesmas. Hoje nós os temos depois de pressionar o controle remoto ...

Digressão 2. Na reunião de 2019 da Associação de Professores de Matemática, um professor espanhol demonstrou um programa de computador que pode pintar paredes sólidas em qualquer cor. Foi um pouco assustador, porque eles só desenharam as mãos, quase cortaram o corpo. Pensei comigo mesmo: quanta diversão você pode obter de tal "sombreamento"? Tudo leva dois minutos, e no quarto não nos lembramos de nada. Enquanto isso, o antiquado “bordado” acalma e educa. Quem não acredita, que tente.

Voltemos ao século XNUMX e às nossas realidades. Se não quisermos relaxamento na forma de colagem demorada de bolas, desenharemos pelo menos uma grade de um icosaedro, cujas bordas têm quatro bolas. Como fazer isso? Pique certo fig. 6. O leitor atento já adivinha o problema:

Tarefa 7. É possível enumerar as bolas com números de 0 a 9 para que todos esses números apareçam em cada face de tal icosaedro?

Pelo que estamos sendo pagos?

Hoje muitas vezes nos perguntamos o propósito de nossas atividades, e o "contribuinte cinza" perguntará por que ele deveria pagar matemáticos para resolver tais quebra-cabeças?

A resposta é bastante simples. Tais "quebra-cabeças", interessantes em si mesmos, são "um fragmento de algo mais sério". Afinal, os desfiles militares são apenas uma parte externa e espetacular de um serviço difícil. Darei apenas um exemplo, mas começarei com um assunto matemático estranho, mas reconhecido internacionalmente. Em 1852, um estudante de inglês perguntou ao seu professor se era possível colorir um mapa com quatro cores para que os países vizinhos fossem sempre mostrados em cores diferentes? Deixe-me acrescentar que não consideramos "vizinhos" aqueles que se encontram em apenas um ponto, como os estados de Wyoming e Utah nos EUA. O professor não sabia... e o problema esperava solução há mais de cem anos.

8. Icosaedro dos blocos RECO. Refletores de flash mostram o que o icosaedro tem em comum com o triângulo e o pentágono. Cinco triângulos convergem em cada vértice.

Aconteceu de uma forma inesperada. Em 1976, um grupo de matemáticos americanos escreveu um programa para resolver esse problema (e eles decidiram: sim, quatro cores sempre serão suficientes). Esta foi a primeira prova de um fato matemático obtido com a ajuda de uma "máquina matemática" - como um computador era chamado há meio século (e até antes: "cérebro eletrônico").

Aqui está um “mapa da Europa” especialmente mostrado (FIG. 9). Os países que têm uma fronteira comum estão conectados. Colorir o mapa é o mesmo que colorir os círculos deste gráfico (chamado gráfico) para que nenhum círculo conectado seja da mesma cor. Uma olhada em Liechtenstein, Bélgica, França e Alemanha mostra que três cores não são suficientes. Se desejar, leitor, pinte-o com quatro cores.

9. Quem faz fronteira com quem na Europa?

Bem, sim, mas vale o dinheiro dos contribuintes? Então, vamos olhar para o mesmo gráfico de forma um pouco diferente. Esqueça que existem estados e fronteiras. Deixe os círculos simbolizarem os pacotes de informação a serem enviados de um ponto a outro (por exemplo, de P para EST), e os segmentos representarem conexões possíveis, cada uma com sua própria largura de banda. Enviar o mais rápido possível?

Primeiro, vejamos uma situação muito simplificada, mas também muito interessante do ponto de vista matemático. Temos que enviar algo do ponto S (= como início) para o ponto M (= fim) usando uma rede de conexão com a mesma largura de banda, digamos 1. Vemos isso em FIG. 10.

10. Rede de conexões de Statsyika Zdrój a Megapolis.

Vamos imaginar que cerca de 89 bits de informação precisam ser enviados de S para M. O autor dessas palavras gosta de problemas com trens, então imagina que é gerente da Stacie Zdrój, de onde tem que enviar 144 vagões. para a estação metrópole. Por que exatamente 144? Porque, como veremos, isso será usado para calcular o throughput de toda a rede. A capacidade é de 1 em cada lote, ou seja, um carro pode passar por unidade de tempo (um bit de informação, possivelmente também Gigabyte).

Vamos garantir que todos os carros se encontrem ao mesmo tempo em M. Todos chegam lá em 89 unidades de tempo. Se eu tiver um pacote de informação muito importante de S para M para enviar, eu o divido em grupos de 144 unidades e o empurro como acima. A matemática garante que este será o mais rápido. Como eu sabia que você precisa de 89? Eu realmente adivinhei, mas se eu não adivinhasse, eu teria que descobrir Equações de Kirchhoff (alguém se lembra? - são equações que descrevem o fluxo de corrente). A largura de banda da rede é 184/89, que é aproximadamente igual a 1,62.

Sobre alegria

A propósito, eu gosto do número 144. Eu gostava de pegar o ônibus com esse número até a Praça do Castelo em Varsóvia - quando não havia Castelo Real restaurado ao lado dele. Talvez os jovens leitores saibam o que é uma dúzia. São 12 exemplares, mas só os leitores mais velhos lembram que uma dúzia de dúzias, ou seja. 122=144, este é o chamado lote. E todo aquele que conhece matemática um pouco mais do que o currículo escolar entenderá imediatamente que FIG. 10 temos números de Fibonacci e que a largura de banda da rede está próxima do "número de ouro"

Na sequência de Fibonacci, 144 é o único número que é um quadrado perfeito. Cento e quarenta e quatro também é um "número alegre". Foi assim que um matemático amador indiano Dattatreya Ramachandra Caprecar em 1955, ele nomeou números que são divisíveis pela soma de seus dígitos constituintes:

Se ele soubesse disso Adam Mickiewicz, ele certamente teria escrito não em Dzyady: “De uma mãe estranha; seu sangue é seus velhos heróis / E seu nome é quarenta e quatro, só que mais elegante: E seu nome é cento e quarenta e quatro.

Leve o entretenimento a sério

Espero ter convencido os leitores de que os quebra-cabeças de Sudoku são o lado divertido das questões que certamente merecem ser levadas a sério. Não consigo desenvolver mais este tópico. Oh, cálculo de largura de banda total da rede a partir do diagrama fornecido em FIG. 9 escrever um sistema de equações levaria duas ou mais horas - talvez até dezenas de segundos (!) de trabalho no computador.