Artigo sobre nada

Quando criança, fiquei fascinado com a história, provavelmente conhecida de muitos leitores, sobre "sopa no prego". Minha avó (nascimento do século XNUMX) me disse isso na versão “O cossaco veio e pediu água, porque tem um prego e vai fazer sopa nele”. A curiosa anfitriã deu-lhe uma panela de água… e sabemos o que aconteceu a seguir: “a sopa tem de ser salgada, daitye, vovó, sal”, depois lavou a carne “para melhorar o sabor” e assim por diante. No final, ele jogou fora a unha "fervida".

Portanto, este artigo deveria ser sobre o vazio do espaço - e é sobre o pouso de um aparato europeu no cometa 67P / Churyumov-Gerasimenko em 12 de novembro de 2014. Mas enquanto escrevia, sucumbi a um hábito de longa data, Eu ainda sou um matemático. Como é com Comoс Zero em matemática?

Como o Nada existe?

Não se pode dizer que Nada existe. Existe pelo menos como um conceito filosófico, matemático, religioso e completamente coloquial. Zero é um número comum, zero graus em um termômetro também é uma temperatura e um saldo zero em um banco é uma ocorrência desagradável, mas comum. Observe que não há ano zero na cronologia, e isso ocorre porque o zero foi introduzido na matemática apenas no final da Idade Média, posterior à cronologia proposta pelo monge Dionísio (século XNUMX).

Curiosamente, realmente poderíamos ficar sem esse zero e, portanto, sem números negativos. Em um dos livros didáticos de lógica, encontrei um exercício: desenhe ou diga como você imagina a ausência de peixes. Incrível, não é? Qualquer um pode desenhar um peixe, mas não um?

Agora brevemente curso basico de matematica. Conceder o privilégio de existência ao conjunto vazio marcado com um círculo riscado ∅ é um procedimento necessário análogo à adição de zero ao conjunto dos números. O conjunto vazio é o único conjunto que não contém nenhum elemento. Tais coleções:

Mas não há dois conjuntos vazios diferentes. O conjunto vazio está incluído em todos os outros conjuntos:

De fato, as regras da lógica matemática dizem que o conjunto A está contido no conjunto B se e somente se a sentença:

isso implica

No caso do conjunto vazio ∅, a proposição é sempre falsa e, portanto, de acordo com as leis da lógica, a implicação é geralmente verdadeira. Tudo decorre de uma mentira (“aqui eu vou cultivar um cacto se você passar para a próxima aula ...”). Assim, como o conjunto vazio está contido em cada um dos outros, se fossem dois diferentes, cada um estaria contido no outro. No entanto, se dois conjuntos estão contidos um dentro do outro, eles são iguais. É por isso: existe apenas um conjunto vazio!

O postulado da existência de um conjunto vazio não contradiz nenhuma lei da matemática, então por que não trazê-lo à vida? O princípio filosófico chamadonavalha de Occam» Uma ordem para excluir conceitos desnecessários, mas na medida certa o conceito de um conjunto vazio é muito útil em matemática. Observe que o conjunto vazio tem uma dimensão de -1 (menos um) - elementos de dimensão zero são pontos e seus sistemas esparsos, elementos unidimensionais são linhas, e falamos sobre elementos matemáticos muito complexos com dimensão fractal no capítulo sobre fractais .

É interessante que toda a construção da matemática: números, números, funções, operadores, integrais, diferenciais, equações ... possam ser derivados de um conceito - um conjunto vazio! Basta supor que existe um conjunto vazio, os elementos recém-criados podem ser combinados em conjuntos para poder construir toda a matemática. Foi assim que o lógico alemão Gottlob Frege construiu os números naturais. Zero é uma classe de conjuntos cujos elementos estão em correspondência mútua com os elementos do conjunto vazio. Uma é uma classe de conjuntos cujos elementos estão em mútua correspondência com os elementos de um conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio. Dois é uma classe de conjuntos cujos elementos são injetáveis ​​com os elementos do conjunto consistindo no conjunto vazio e no conjunto cujo único elemento é o conjunto vazio... e assim por diante. À primeira vista, isso parece ser algo muito complicado, mas na verdade não é.

Azul se espalhou por mim

cheirava a urze e cheirava a menta...

Wojciech Mlynarski, Garota da Colheita

É difícil imaginar

Nada é difícil de imaginar. Na história de Stanisław Lem "Como o mundo foi salvo", o designer Trurl construiu uma máquina que faria tudo começando com uma letra. Quando Klapaucius mandou construir Nic, a máquina começou a remover vários objetos do mundo - com o objetivo final de remover tudo. No momento em que o assustado Klapaucius parou o carro, galés, teixos, enforcamentos, hacks, rimas, batedores, pufes, moedores, espetos, philidrons e geadas haviam desaparecido do mundo para sempre. E, de fato, eles desapareceram para sempre ...

Józef Tischner escreveu muito bem sobre o nada em sua História da Filosofia da Montanha. Durante minhas últimas férias, decidi experimentar esse nada, ou seja, fui às turfeiras entre Nowy Targ e Jabłonka em Podhale. Esta área é até chamada de Pustachia. Você vai, você vai, mas a estrada não diminui - claro, em nossa modesta escala polonesa. Um dia, peguei um ônibus na província canadense de Saskatchewan. Do lado de fora havia um milharal. Tirei uma soneca por meia hora. Quando acordei, estávamos passando pelo mesmo milharal... Mas espera, está vazio? Em certo sentido, a ausência de mudança é apenas vazio.

Estamos acostumados com a presença constante de vários objetos ao nosso redor, e de Algo você não pode fugir mesmo com os olhos fechados. “Penso, logo existo”, disse Descartes. Se já pensei alguma coisa, então existo, o que significa que há pelo menos alguma coisa no mundo (a saber, eu). O que eu pensei existe? Isso pode ser discutido, mas na mecânica quântica moderna, o princípio de Heisenberg é conhecido: cada observação perturba o estado do objeto observado. Até que o vejamos Nic não existe, e quando começamos a olhar, o objeto deixa de ser Como e torna-se Algo. Está ficando absurdo princípio antrópico: Não adianta perguntar como seria o mundo se não existíssemos. O mundo é o que nos parece. Talvez outros seres vejam a Terra como angular?

Um pósitron (tal elétron positivo) é um buraco no espaço, "não há elétron". No processo de aniquilação, o elétron salta para esse buraco e “nada acontece” – não há buraco, não há elétron. Vou pular muitas piadas sobre buracos no queijo suíço (“quanto mais eu tenho, menos tem ...”). O famoso compositor John Cage já havia usado suas idéias a tal ponto que compôs (?) uma peça musical (?) em que a orquestra fica imóvel por 4 minutos e 33 segundos e, claro, não toca nada. “Quatro minutos e trinta e três segundos são duzentos e setenta e três, 273, e menos 273 graus é o zero absoluto, no qual todo movimento para”, explicou o compositor (?).

Filtre para zero, nada, nick, nick, nada, zero!

Jerzy no filme de Andrzej Wajda Ao Longo dos Anos,

Os dias passam"

Que tal todos?

Muitas pessoas (desde simples fazendeiros a filósofos proeminentes) se perguntavam sobre o fenômeno da existência. Em matemática, a situação é simples: há algo que é consistente.

Ela desapareceu nos campos marginais

Em centáureas, ervas daninhas e bocas de leão...

Bem, coisas assim acontecem

Especialmente na colheita, e durante a colheita

especialmente…

Wojciech Mlynarski, Garota da Colheita

Tudo está no outro extremo do Nada. Em matemática, sabemos que Tudo não existe. Apenas uma noção muito imprecisa de que sua existência estaria livre de controvérsias. Isso pode ser entendido pelo exemplo do velho paradoxo: "Se Deus é onipotente, então crie uma pedra para pegar?" A prova matemática de que não pode haver conjuntos de todos os conjuntos é baseada no teorema cantor-Bershtein, que diz que "um número infinito" (matemático: número cardinal) o conjunto de todos os membros de um determinado conjunto é maior que o número de elementos desse conjunto.

Se um conjunto tem elementos, então ele tem 2ⁿ subconjuntos; por exemplo, quando = 3 e o conjunto consiste em {1, 2, 3}, existem os seguintes subconjuntos:

• três conjuntos de dois elementos: cada um deles está faltando um dos números 1, 2, 3,
• um conjunto vazio,
• três conjuntos de um elemento,
• todo o conjunto {1,2,3}

– apenas oito, 2³E leitores que se formaram recentemente na escola, gostaria de lembrar a fórmula correspondente:

Cada um dos símbolos newtonianos nesta fórmula determina o número de conjuntos de elementos k no conjunto de elementos.

Em matemática, os coeficientes binomiais aparecem em muitos outros lugares, como em fórmulas interessantes para multiplicação reduzida:

e de sua forma exata, sua interdependência é muito mais interessante.

É difícil entender o que - no que diz respeito à lógica e à matemática - é e o que tudo não é. Argumentos para a inexistência Igual ao do Ursinho Pooh, que educadamente perguntou a seu convidado, Tigre, os Tigres gostam de mel, bolotas e cardos? “Tigres gostam de tudo”, respondeu aquele de onde Kubus concluiu que se eles gostam de tudo, também gostam de dormir no chão, portanto, ele, Vinnie, pode voltar para a cama.

Outro argumento Paradoxo de Russell. Há um barbeiro na cidade que barbeia todos os homens que não se barbeiam. Ele se barbeia? Ambas as respostas contradizem a condição apresentada de que aqueles, e apenas aqueles, que não o fizerem por si mesmos, sejam massacrados.

Procurando uma coleção de todas as coleções

Em conclusão, darei uma prova inteligente, mas mais matemática, de que não existe um conjunto de todos os conjuntos (não confunda com ele).

Primeiro, mostraremos que para qualquer conjunto não vazio X, é impossível encontrar uma função mutuamente única que mapeie esse conjunto para o conjunto de seus subconjuntos P(X). Então vamos supor que essa função existe. Vamos denotar pelo tradicional f. O que é f de x? Esta é uma coleção. xf pertence a x? Isso é desconhecido. Ou você tem que ou não. Mas para algum x ainda deve ser tal que não pertença a f de x. Bem, então considere o conjunto de todos os x para os quais x não pertence a f(x). Denote-o (este conjunto) por A. Corresponde a algum elemento a do conjunto X. A pertence a A? Vamos supor que você deveria. Mas A é um conjunto que contém apenas aqueles elementos de x que não pertencem a f(x)... Bem, talvez não pertença a A? Mas o conjunto A contém todos os elementos desta propriedade e, portanto, também A. Fim da prova.

Portanto, se houvesse um conjunto de todos os conjuntos, ele próprio seria um subconjunto de si mesmo, o que é impossível de acordo com o raciocínio anterior.

Ufa, acho que muitos leitores não viram essa prova. Em vez disso, eu o trouxe à tona para mostrar o que os matemáticos tiveram que fazer no final do século XIX, quando começaram a estudar os fundamentos de sua própria ciência. Descobriu-se que os problemas estão onde ninguém esperava. Além disso, para toda a matemática, esses raciocínios sobre as bases não importam: não importa o que aconteça nos porões - todo o edifício da matemática está sobre uma rocha sólida.

Enquanto isso, no topo...

Notamos mais uma moral das histórias de Stanislav Lem. Em uma de suas viagens, Iyon Tichi chegou a um planeta cujos habitantes, após uma longa evolução, finalmente atingiram o estágio mais elevado de desenvolvimento. Todos são fortes, podem fazer qualquer coisa, têm tudo na ponta dos dedos… e não fazem nada. Deitam-se na areia e despejam-na entre os dedos. “Se tudo é possível, não vale a pena”, explicam ao chocado Ijon. Que isso não aconteça com a nossa civilização europeia...