Viagem ao mundo irreal da matemática

Escrevi este artigo em um dos ambientes, após uma palestra e prática em uma faculdade de ciência da computação. Defendo-me das críticas aos alunos desta escola, ao seu conhecimento, atitude perante a ciência e, sobretudo, às suas capacidades de ensino. Isso... ninguém os ensina.

Por que estou tão na defensiva? Por uma razão simples - estou em uma idade em que, provavelmente, o mundo ao nosso redor ainda não é compreendido. Talvez eu os esteja ensinando a atrelar e desatrelar cavalos, e não a dirigir um carro? Talvez eu os ensine a escrever com uma caneta de pena? Embora eu tenha uma opinião melhor sobre uma pessoa, eu me considero “seguindo”, mas…

Até recentemente, no ensino médio, eles falavam sobre números complexos. E foi nesta quarta-feira que cheguei em casa, desisti - quase nenhum dos alunos ainda aprendeu o que é e como usar esses números. Alguns olham para toda a matemática como um ganso para uma porta pintada. Mas também fiquei genuinamente surpreso quando eles me disseram como aprender. Simplificando, cada hora de aula são duas horas de lição de casa: ler um livro didático, aprender a resolver problemas sobre um determinado tópico, etc. Preparados dessa forma, chegamos aos exercícios, onde melhoramos tudo ... Agradavelmente, os alunos, aparentemente, pensaram que sentar na palestra - na maioria das vezes olhando pela janela - já garante a entrada do conhecimento na cabeça.

Pare! Basta disso. Vou descrever minha resposta a uma pergunta que recebi durante uma aula com bolsistas do National Children's Fund, uma instituição que apoia crianças talentosas de todo o país. A pergunta (ou melhor, a sugestão) era:

— Você poderia nos dizer algo sobre números irreais?

“Claro”, respondi. 

A realidade dos números

“Um amigo é outro eu, a amizade é a proporção dos números 220 e 284”, disse Pitágoras. O ponto aqui é que a soma dos divisores do número 220 é 284, e a soma dos divisores do número 284 é 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Outra coincidência interessante entre os números 220 e 284 é esta: os dezessete números primos mais altos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, e 59.

A soma deles é 2x220, e a soma dos quadrados é 59x284.

Primeiro. Não existe o conceito de "número real". É como depois de ler um artigo sobre elefantes e você perguntar: "Agora vamos perguntar por não-elefantes". Existem inteiros e não-todos, racionais e irracionais, mas não existem irreais. Especificamente: números que não são reais não são chamados de inválidos. Existem muitos tipos de "números" em matemática, e eles diferem uns dos outros, como - para fazer uma comparação zoológica - um elefante e uma minhoca.

Em segundo lugar, realizaremos operações que você já deve saber que são proibidas: tirar raízes quadradas de números negativos. Bem, a matemática superará essas barreiras. Faz sentido embora? Na matemática, como em qualquer outra ciência, o fato de uma teoria entrar para sempre no repositório do conhecimento depende... de sua aplicação. Se é inútil, acaba no lixo, depois em algum lixo da história do conhecimento. Sem os números que falo no final deste artigo, é impossível desenvolver a matemática. Mas vamos começar com algumas pequenas coisas. O que são números reais, você sabe. Eles preenchem a linha numérica densamente e sem lacunas. Você também sabe o que são números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - todos eles não caberão memória mesmo o maior. Eles também têm um nome bonito: natural. Eles têm tantas propriedades interessantes. Como você gosta disso:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“É natural estar interessado nos números naturais”, disse Karl Lindenholm, e Leopold Kronecker (1823-1891) colocou sucintamente: “Deus criou os números naturais – todo o resto é obra do homem!” As frações (chamadas de números racionais pelos matemáticos) também têm propriedades surpreendentes:

e em igualdade:

você pode, começando pelo lado esquerdo, esfregar os sinais de adição e substituí-los por sinais de multiplicação - e a igualdade permanecerá verdadeira:

E assim por diante.

Como você sabe, para frações a/b, onde a e b são inteiros, e b ≠ 0, eles dizem número racional. Mas só em polonês eles se chamam assim. Eles falam inglês, francês, alemão e russo. número racional. Em inglês: números racionais. Números irracionais é irracional, irracional. Também falamos polonês sobre teorias, ideias e ações irracionais - isso é loucura, imaginário, inexplicável. Dizem que as mulheres têm medo de ratos - isso não é tão irracional?

Nos tempos antigos, os números tinham alma. Cada um significava algo, cada um simbolizava algo, cada um refletia uma partícula daquela harmonia do Universo, que é, em grego, o Cosmos. A própria palavra "cosmos" significa exatamente "ordem, ordem". Os mais importantes eram seis (o número perfeito) e dez, a soma dos números consecutivos 1+2+3+4, formados por outros números, cujo simbolismo sobreviveu até hoje. Então Pitágoras ensinou que os números são o começo e a fonte de tudo, e somente a descoberta números irracionais voltou o movimento pitagórico para a geometria. Conhecemos o raciocínio da escola que

√2 é um número irracional

Pois suponha que existe: e que esta fração não pode ser reduzida. Em particular, tanto p como q são ímpares. Vamos ao quadrado: 2q²=p². O número p não pode ser ímpar, pois então p² também seria, e o lado esquerdo da igualdade é um múltiplo de 2. Portanto, p é par, ou seja, p = 2r, portanto, p²= 4r². Reduzimos a equação 2q²= 4r² por 2. Obtemos q²= 2r² e vemos que q também deve ser par, o que assumimos que não é assim. A contradição resultante completa a prova - esta fórmula muitas vezes pode ser encontrada em todos os livros de matemática. Esta prova circunstancial é um truque favorito dos sofistas.

Essa imensidão não podia ser compreendida pelos pitagóricos. Tudo deve poder ser descrito por números, e a diagonal de um quadrado, que qualquer um pode desenhar com um bastão na areia, não tem comprimento, ou seja, mensurável. “Nossa fé foi em vão”, parecem dizer os pitagóricos. Como assim? É meio... irracional. A União tentou salvar-se por métodos sectários. Qualquer um que se atreva a revelar sua existência números irracionais, seria punido com a morte e, aparentemente, a primeira sentença foi executada pelo próprio mestre.

Mas "o pensamento passou ileso". A idade de ouro chegou. Os gregos derrotaram os persas (Maratona 490, Bloco 479). A democracia se fortaleceu, surgiram novos centros de pensamento filosófico e novas escolas. Os pitagóricos ainda lutavam com números irracionais. Alguns pregaram: não compreenderemos este mistério; só podemos contemplar e maravilhar-nos com Uncharted. Estes últimos eram mais pragmáticos e não respeitavam o Mistério. Naquela época, surgiram duas construções mentais que possibilitavam a compreensão dos números irracionais. O fato de entendê-los bem hoje pertence a Eudoxo (século V aC), e foi somente no final do século XIX que o matemático alemão Richard Dedekind deu à teoria de Eudoxo o desenvolvimento adequado de acordo com as exigências de rigorosos lógica matemática.

Massa de figuras ou tortura

Você poderia viver sem números? Mesmo que a vida fosse... Teríamos que ir à loja comprar sapatos com um palito, que medimos previamente o comprimento do pé. “Eu gostaria de maçãs, ah, aqui está!” – mostraríamos vendedores no mercado. "Qual a distância entre Modlin e Nowy Dwur Mazowiecki"? "Bem perto!"

Números são usados ​​para medir. Com a ajuda deles, também expressamos muitos outros conceitos. Por exemplo, a escala do mapa mostra o quanto a área do país diminuiu. Uma escala de dois para um, ou simplesmente 2, expressa o fato de que algo dobrou de tamanho. Digamos matematicamente: cada homogeneidade corresponde a um número - sua escala.

Tarefa. Fizemos uma cópia xerográfica, ampliando a imagem várias vezes. Em seguida, o fragmento aumentado foi novamente aumentado b vezes. Qual é a escala de ampliação geral? Resposta: a × b multiplicado por b. Essas escalas precisam ser multiplicadas. O número "menos um", -1, corresponde a uma precisão centralizada, ou seja, girada 180 graus. Que número corresponde a uma volta de 90 graus? Não existe esse número. É, é... ou melhor, será em breve. Você está pronto para a tortura moral? Tome coragem e tire a raiz quadrada de menos um. Eu estou escutando? O que você não pode? Afinal, eu lhe disse para ser corajoso. Puxe-o para fora! Ei, puxe, puxe... Eu ajudo... Aqui: -1 Agora que temos, vamos tentar usar... Claro, agora podemos extrair as raízes de todos os números negativos, por exemplo .:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

“Independentemente da angústia mental que isso acarreta.” Assim escreveu Girolamo Cardano em 1539, tentando superar as dificuldades mentais associadas ao - como logo passou a ser chamado - quantidades imaginárias. Ele considerou esses...

...Tarefa. Divida 10 em duas partes, cujo produto é 40. Lembro que no episódio anterior ele escreveu algo assim: Certamente impossível. No entanto, vamos fazer o seguinte: divida 10 em duas partes iguais, cada uma igual a 5. Multiplique-as - resultou em 25. Do 25 resultante, agora subtraia 40, se quiser, e você obtém -15. Agora veja: √-15 adicionado e subtraído de 5 dá o produto de 40. Estes são os números 5-√-15 e 5 + √-15. A verificação do resultado foi realizada por Cardano da seguinte forma:

“Independentemente da mágoa que isso acarreta, multiplique 5 + √-15 por 5-√-15. Obtemos 25 - (-15), que é igual a 25 + 15. Portanto, o produto é 40 .... É realmente difícil."

Bem, quanto é: (1 + √-1) (1-√-1)? Vamos multiplicar. Lembre-se que √-1 × √-1 = -1. Excelente. Agora uma tarefa mais difícil: de a + b√-1 a ab√-1. O que aconteceu? Certamente, assim: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

O que há de interessante nisso? Por exemplo, o fato de podermos fatorar expressões que "não conhecíamos antes". A fórmula de multiplicação abreviada para²-b² Você se lembra da fórmula para²+b² não era, porque não podia ser. No domínio dos números reais, o polinômio²+b² é inevitável. Vamos denotar "nossa" raiz quadrada de "menos um" com a letra i.²= -1. É um número primo "irreal". E é isso que descreve uma curva de 90 graus de um avião. Por quê? Afinal,²= -1, e combinar uma rotação de 90 graus e outra rotação de 180 graus dá uma rotação de 45 graus. Que tipo de rotação está sendo descrito? Obviamente, uma volta de XNUMX graus. O que significa o -i? É um pouco mais complicado:

(-EU)² = -i × (-i) = + i² = -1

Então -i também descreve uma rotação de 90 graus, apenas na direção oposta da rotação de i. Qual é a esquerda e qual é a direita? Você deve fazer um agendamento. Assumimos que o número i especifica uma rotação em uma direção que os matemáticos consideram positiva: anti-horário. O número -i descreve a rotação na direção em que os ponteiros estão se movendo.

Mas números como i e -i existem? Está! Nós apenas os trouxemos à vida. Eu estou escutando? Que eles existem apenas em nossa cabeça? Bem, o que esperar? Todos os outros números também existem apenas em nossa mente. Precisamos ver se nossos números de recém-nascidos sobrevivem. Mais precisamente, se o design é lógico e se eles serão úteis para alguma coisa. Por favor, aceite minha palavra de que tudo está em ordem e que esses novos números são realmente úteis. Números como 3+i, 5-7i, mais geralmente: a+bi são chamados de números complexos. Mostrei como você pode obtê-los girando o avião. Eles podem ser inseridos de diferentes maneiras: como pontos em um plano, como alguns polinômios, como algum tipo de matriz numérica ... e cada vez são os mesmos: a equação x² +1=0 não há elemento... hocus pocus já está lá!!!! Vamos nos alegrar e nos alegrar!!!

Fim do passeio

Isso conclui nossa primeira turnê pelo país dos números falsos. Dos outros números sobrenaturais, também mencionarei aqueles que têm um número infinito de dígitos na frente e não atrás (eles são chamados de 10-ádicos, para nós p-ádicos são mais importantes, onde p é um número primo), pois exemplo X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Vamos contar X por favor². Porque? E se calcularmos o quadrado de um número seguido por um número infinito de dígitos? Bem, vamos fazer o mesmo. Sabemos que x² = X.

Vamos encontrar outro número com um número infinito de dígitos na frente que satisfaça a equação. Dica: o quadrado de um número que termina em seis também termina em seis. O quadrado de um número que termina em 76 também termina em 76. O quadrado de um número que termina em 376 também termina em 376. O quadrado de um número que termina em 9376 também termina em 9376. O quadrado de um número que termina em XNUMX em… Há também números tão pequenos que, sendo positivos, permanecem menores que qualquer outro número positivo. Eles são tão pequenos que às vezes basta elevá-los ao quadrado para obter zero. Existem números que não satisfazem a condição a × b = b × a. Há também números infinitos. Quantos números naturais existem? Infinitamente muitos? Sim, mas quanto? Como isso pode ser expresso como um número? Resposta: o menor dos números infinitos; está marcado com uma bela letra: A e complementado com um índice zero A₀ , aleph-zero.

Há também números que não sabemos que existem... ou que você pode acreditar ou desacreditar como quiser. E por falar nisso: espero que você ainda goste de Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.