Por que não dividimos por zero?

Os leitores podem se perguntar por que dedico um artigo inteiro a um assunto tão banal? O motivo é o número impressionante de alunos (!) realizando casualmente a operação sob o nome. E não só os alunos. Às vezes eu pego e professores. O que os alunos desses professores serão capazes de fazer em matemática? O motivo imediato para escrever este texto foi uma conversa com uma professora para quem a divisão por zero não era um problema...

Com zero, sim, exceto pelo incômodo de nada, porque realmente não precisamos usá-lo no dia a dia. Nós não vamos comprar zero ovos. “Há uma pessoa na sala” soa de alguma forma natural, e “zero pessoas” soa artificial. Os linguistas dizem que o zero está fora do sistema linguístico.

Podemos prescindir do zero também nas contas bancárias: basta usar - como em um termômetro - vermelho e azul para valores positivos e negativos (observe que para temperatura é natural usar vermelho para números positivos, e para contas bancárias é é o contrário, porque o débito deve acionar um aviso, então o vermelho é altamente recomendado).

Ao incluir o zero como um número natural, tocamos no problema da diferenciação números cardinais od doméstico. Dentro de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

a potência do número é igual ao número do lugar onde está. Caso contrário, já está na sequência 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

O número de conjuntos singleton vem em segundo lugar, o número de conjuntos com dois elementos vem em terceiro e assim por diante. Temos que explicar porque, por exemplo, não numeramos de raiz as vagas dos atletas nas competições. Em seguida, o vencedor do primeiro lugar receberia uma medalha de prata (o ouro foi para o vencedor do zero), e assim por diante. Um procedimento um tanto semelhante foi usado no futebol - não sei se os leitores sabem que "liga um" significa " seguindo o melhor." “, e a liga zero é chamada para se tornar a “liga principal”.

Às vezes ouvimos o argumento de que precisamos começar do zero, porque é conveniente para o pessoal de TI. Dando continuidade a essas considerações, a definição de quilômetro deveria ser alterada - deveria ser 1024 m, pois esse é o número de bytes em um kilobyte (vou me referir a uma piada conhecida dos cientistas da computação: “Qual é a diferença entre um calouro e um um estudante de ciência da computação e um aluno do quinto ano desta faculdade? que um kilobyte é 1000 kilobytes, o último - que um quilômetro é 1024 metros")!

Outro ponto de vista, que já deve ser levado a sério, é o seguinte: sempre medimos do zero! Basta olhar para qualquer escala na régua, nas balanças domésticas, até no relógio. Como medimos a partir do zero e a contagem pode ser entendida como uma medida com uma unidade adimensional, devemos contar a partir do zero.

É uma questão simples, mas...

Vamos deixar o raciocínio geral e voltar à divisão por zero. A questão é simples e seria simples se não fosse por... e daí? Vamos pensar e tentar. Quanto pode ser - um dividido por zero? Vejamos: 1/0 = x. Multiplique ambos os lados pelo denominador do lado esquerdo.

Obtemos 1 = 0. Algo está errado! O que aconteceu? Ah adivinha! A suposição de que existe um quociente de unidade e zero leva a uma contradição. E se um não pode ser dividido por zero, então outro número pode. Se, leitor, você encolhe os ombros e se pergunta por que o autor (ou seja, eu) escreve sobre tais chavões, então... fico muito feliz!

A fórmula 0/0 = 0 poderia ser defendida com teimosia, mas contradiz a regra de que o resultado da divisão de um número por ele mesmo é igual a um. Absolutamente, mas bastante diferentes, são símbolos como 0/0, °/° e similares no cálculo. Eles não significam nenhum número, mas são designações simbólicas para sequências particulares de certos tipos.

Em um livro de engenharia elétrica, encontrei uma comparação interessante: dividir por zero é tão perigoso quanto a eletricidade de alta tensão. Isso é normal: a lei de Ohm afirma que a relação entre tensão e resistência é igual à corrente: V = U / R. Se a resistência fosse zero, uma corrente teoricamente infinita fluiria através do condutor, queimando todos os condutores possíveis.

Certa vez escrevi um poema sobre os perigos de dividir por zero todos os dias da semana. Lembro-me que o dia mais dramático foi a quinta-feira, mas é uma pena todo o meu trabalho nesta área.

Quando você divide algo por zero

Segunda-feira muito cedo

Semana o que acabou de acontecer

Você já falhou miseravelmente.

Quando terça-feira à tarde

Você coloca zero no denominador

Eu vou te dizer então, você está errado

Péssimo matemático!

Quando por zero, por perversão,

Quer dividir na quarta-feira

Você vai ter muitos problemas

Você tem feno e água em sua cabeça!

Um certo Bartek estava conosco.

Ele estava em desacordo com as regras.

Na quinta-feira, é divisível por zero.

Ele não está mais entre nós!

Se um desejo estranho toma conta de você

Divida por zero na sexta-feira

Eu vou ser honesto, eu vou ser honesto:

Mau começo para este fim de semana.

Quando é zero, em algum lugar no sábado

O divisor será seu (não em negrito)

Ajoelhe-se sob a cerca da igreja.

Esta é a sua ressurreição.

Você quer zero sob o traço,

Faça um feriado no domingo

Traga giz, quadro preto.

Escreva: não é divisível por zero!

Zero está associado ao vazio e ao nada. De fato, ele chegou à matemática como uma quantidade que, quando adicionada a qualquer uma, não a altera: x + 0 = x. Mas agora zero aparece em vários outros valores, principalmente como início de escala. Se fora da janela não houver temperatura positiva nem geada, então ... isso é zero, o que não significa que não haja temperatura alguma. Um monumento classe zero não é aquele que está demolido há muito tempo e simplesmente não existe. Pelo contrário, é algo como o Wawel, a Torre Eiffel e a Estátua da Liberdade.

Bem, a importância do zero em um sistema posicional dificilmente pode ser superestimada. Você sabe, leitor, quantos zeros Bill Gates tem em sua conta bancária? Não sei, mas quero metade. Aparentemente, Napoleão Bonaparte notou que as pessoas são como zeros: adquirem significado através da posição. No filme de Andrzej Wajda À medida que os anos passam, o apaixonado artista Jerzy explode: "O filisteu é zero, nihil, nada, nada, nihil, zero". Mas zero pode ser bom: “zero desvio da norma” significa que tudo está indo bem, e continue assim!

Voltemos à matemática. Zero pode ser somado, subtraído e multiplicado impunemente. “Ganhei zero quilo”, diz Manya a Anya. “E isso é interessante, porque perdi o mesmo peso”, responde Anya. Então vamos comer seis porções zero de sorvete seis vezes, não vai nos machucar.

Não podemos dividir por zero, mas podemos dividir por zero. Um prato de bolinhos zero pode ser facilmente entregue a quem está esperando por comida. Quanto cada um receberá?

Zero não é positivo ou negativo. Este e o número não positivoи não negativo. Satisfaz as desigualdades x≥0 e x≤0. A contradição “algo positivo” não é “algo negativo”, mas “algo negativo ou igual a zero”. Os matemáticos, contrariando as regras da linguagem, sempre dirão que algo é "igual a zero" e não "zero". Para justificar esta prática, temos: se lermos a fórmula x = 0 "x é igual a zero" então x = 1 lemos "x é igual a um", que poderia ser engolido, mas e "x = 1534267" ? Você também não pode atribuir um valor numérico ao caractere 0⁰nem elevar zero a uma potência negativa. Por outro lado, você pode enraizar zero à vontade... e o resultado sempre será zero. 

Função exponencial y = a^x, a base positiva de a, nunca se torna zero. Segue-se que não há logaritmo zero. De fato, o logaritmo de a na base b é o expoente ao qual a base deve ser elevada para obter o logaritmo de a. Para a = 0, não existe tal indicador e zero não pode ser a base do logaritmo. No entanto, o zero no "denominador" do símbolo de Newton é outra coisa. Assumimos que essas convenções não levam a uma contradição.

provas falsas

A divisão por zero é um assunto comum para provas falsas, e acontece até mesmo com matemáticos experientes. Deixe-me dar-lhe dois dos meus exemplos favoritos. A primeira é algébrica. Vou "provar" que todos os números são iguais. Suponha que existam dois números que não são iguais. Portanto, um deles é maior que o outro, seja a > b. Suponhamos que c é sua diferença

c \uXNUMXd a - b. Então temos a - b = c, onde a = b + c.

Multiplicamos ambas as partes deste último por a - b:

a² - ab = ab + ac - b2 - bc.

Traduzo k para o lado esquerdo, claro que me lembro de mudar o sinal:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Eu excluo fatores comuns:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Eu compartilho e tenho o que eu queria:

a = b.

E na verdade ainda mais estranho, porque eu assumi que a > b, e obtive que a = b. Se no exemplo acima "trapacear" é fácil de reconhecer, então na prova geométrica abaixo não é tão fácil. Vou provar que... o trapézio não existe. A figura comumente chamada de trapézio não existe.

Mas suponha primeiro que exista um trapézio (ABCD na figura abaixo). Tem dois lados paralelos ("bases"). Vamos esticar essas bases, como mostra a figura, para obtermos um paralelogramo. Suas diagonais dividem a outra diagonal do trapézio em segmentos cujos comprimentos são denotados por x, y, z, como em figura 1. Da semelhança dos triângulos correspondentes, obtemos as proporções:

onde definimos:

Oraz

onde definimos:

Subtraia os lados da igualdade marcados com asteriscos:

 Encurtando ambos os lados em x − z, obtemos – a/b = 1, o que significa que a + b = 0. Mas os números a, b são os comprimentos das bases do trapézio. Se a soma deles for zero, eles também serão zero. Isso significa que uma figura como um trapézio não pode existir! E como retângulos, losangos e quadrados também são trapézios, então, caro leitor, também não existem losangos, retângulos e quadrados ...

Adivinha Adivinha

Compartilhar informações é a mais interessante e desafiadora das quatro atividades básicas. Aqui, pela primeira vez, encontramos um fenômeno tão comum na idade adulta: "adivinhe a resposta e depois verifique se acertou". Isso é muito bem expresso por Daniel K. Dennett (“How to Make Mistakes?”, em How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsóvia, 1997):

Esse método de "adivinhar" não interfere em nossa vida adulta - talvez porque aprendemos cedo e adivinhar não é difícil. Ideologicamente, o mesmo fenômeno ocorre, por exemplo, na indução matemática (completa). No mesmo lugar, “adivinhamos” a fórmula e depois verificamos se nosso palpite está correto. Os alunos sempre perguntam: “Como conhecemos o padrão? Como pode ser retirado?" Quando os alunos me fazem essa pergunta, transformo a pergunta em uma piada: "Sei disso porque sou profissional, porque sou pago para saber". Os alunos na escola podem ser respondidos no mesmo estilo, só que com mais seriedade.

Exercício. Observe que começamos a adição e a multiplicação escrita com a unidade mais baixa e a divisão com a unidade mais alta.

Uma combinação de duas ideias

Os professores de matemática sempre apontaram que o que chamamos de separação de adultos é a união de duas ideias conceitualmente diferentes: habitação i separação.

O primeiro (habitação) ocorre em tarefas onde o arquétipo é:

Dividir-dividir São tarefas como:

? (Mantemos o estilo original deste problema, retirado do manual de Julian Zgozalewicz publicado em Cracóvia em 1892 - o złoty é o złoty renano, a moeda que circulou no Império Austro-Húngaro até o início do século XNUMX).

Agora considere dois problemas com o livro de matemática mais antigo em polonês, pai Tomasz Clos (1538). É uma divisão ou um cupê? Resolva-o da maneira que as crianças em idade escolar no século XNUMX deveriam:

(Tradução do polonês para o polonês: Há um litro e quatro potes em um barril. Um pote tem quatro quartos. Alguém comprou 20 barris de vinho por 50 zł para o comércio. Impostos e impostos (impostos?) Serão 8 zł. Quanto custa vender um quarto para ganhar 8 zł?)

Esportes, física, congruência

Às vezes nos esportes você tem que dividir algo por zero (proporção de gols). Bem, os juízes de alguma forma lidam com isso. No entanto, em álgebra abstrata eles estão na agenda. quantidades diferentes de zerocujo quadrado é zero. Pode até ser explicado de forma simples.

Considere uma função F que associa um ponto (y, 0) a um ponto no plano (x, y). O que é F², ou seja, uma execução dupla de F? Função zero - cada ponto possui uma imagem (0,0).

Finalmente, quantidades diferentes de zero cujo quadrado é 0 são quase o pão de cada dia para os físicos, e números da forma a + bε, onde ε ≠ 0, mas ε² = 0, os matemáticos chamam números duplos. Eles ocorrem na análise matemática e na geometria diferencial.

Afinal, existe algo na aritmética que tem divisão por zero pelo menos no nome. Vem de congruência. Seja Z o conjunto dos inteiros. Dividir o conjunto Z por p significa que igualamos cada número (inteiro) a alguns outros, ou seja, àqueles pelos quais sua diferença é divisível. Então, quando temos cinco tipos de números correspondentes aos números 0, 1, 2, 3, 4 - os possíveis restos quando divididos por 5. A fórmula é escrita assim:

mod quando a diferença é um múltiplo.

Para = 2, temos apenas dois números: 0 e 1. Dividir inteiros em duas dessas classes é equivalente a dividi-los em pares e ímpares. Vamos substituí-lo agora. A diferença é sempre divisível por 1 (qualquer número inteiro é divisível por 1). É possível tomar =0? Vamos tentar: quando a diferença de dois números é um múltiplo de zero? Somente quando esses dois números são iguais. Portanto, dividir um conjunto de inteiros por zero faz sentido, mas não é interessante: nada acontece. No entanto, deve-se enfatizar que não se trata de divisão de números no sentido conhecido desde o ensino fundamental.

Tais ações são simplesmente proibidas, assim como a matemática longa e ampla.

Arroz. 2. Identificação de números por comparação

(modo 5 e modo 2)