Coronavírus e educação matemática – coleções parcialmente encomendadas

O vírus que nos infectou está a provocar uma rápida reforma educativa. especialmente nos níveis mais elevados de ensino. Um ensaio mais longo poderia ser escrito sobre este tema; certamente haverá uma série de dissertações de doutorado sobre métodos de ensino à distância. De certo ponto de vista, trata-se de um regresso às origens e a hábitos esquecidos de autoaprendizagem. Foi o caso, por exemplo, da escola secundária de Kremenets (em Kremenets, hoje na Ucrânia, que existiu em 1805-31, vegetava até 1914 e viveu o seu apogeu em 1922-1939). Os alunos estudavam lá por conta própria - só depois de aprenderem é que os professores entravam com correções, esclarecimentos finais, ajuda em locais difíceis, etc. d. Quando me tornei estudante, também diziam que devemos adquirir conhecimentos nós mesmos, que as aulas na universidade só podem ser encomendadas e enviadas. Mas então era apenas uma teoria...

Na primavera de 2020, não sou o único que descobriu que as aulas (incluindo palestras, exercícios etc.) por parte do professor e apenas um desejo de "obter educação" por outro lado; mas também com algum conforto: sento-me em casa, na minha poltrona, e nas aulas tradicionais, os alunos muitas vezes também faziam outra coisa. O efeito de tal treinamento pode ser ainda melhor do que com o tradicional, que remonta à Idade Média, sistema de aula-aula. O que restará dele quando o vírus for para o inferno? Eu acho... bastante. Mas veremos.

Hoje falarei sobre conjuntos parcialmente ordenados. É simples. Uma vez que uma relação binária em um conjunto não vazio X é chamada de relação de ordem parcial quando existe

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filósofo,

Presidente da Academia Polonesa de Ciências em 1957-1962).

1. Reflexivo, ou seja, para cada ∈ existe ",
2. Transeunte, ou seja se ", e ", então ",
3. Semi-assimétrico, ou seja, ("∧")→ =

Uma linha é um conjunto com a seguinte propriedade: para quaisquer dois elementos, é um conjunto de “ou y”. Anticadeia é...

Para para! Será que nada disso pode ser entendido? Claro que é. Mas algum dos Leitores (sabendo o contrário) já entendeu o que está aqui?

Eu não acho! E este é o cânone do ensino de matemática. Também na escola. Primeiro, uma definição decente e rigorosa e, em seguida, aqueles que não adormeceram de tédio definitivamente entenderão alguma coisa. Esse método foi imposto pelos "grandes" professores de matemática. Ele deve ser cuidadoso e rigoroso. É verdade que é assim que deve ser no final. A matemática deve ser uma ciência exata (Veja também: ).

Devo confessar que na universidade onde trabalho depois de me aposentar da Universidade de Varsóvia, também lecionei por muitos anos. Só nele estava o famigerado balde de água fria (deixe ficar assim: era preciso um balde!). De repente, a alta abstração tornou-se leve e agradável. Preste atenção: fácil não significa fácil. O boxeador leve também tem dificuldades.

Sorrio com minhas memórias. Aprendi o básico da matemática com o então reitor do departamento, um matemático de primeira classe que acabara de chegar de uma longa estadia nos Estados Unidos, o que na época era algo extraordinário por si só. Acho que ela foi um pouco esnobe quando se esqueceu um pouco do polonês. Ela abusou do antigo polonês "o quê", "portanto", "azaléia" e cunhou o termo: "relação semi-assimétrica". Eu adoro usá-lo, é realmente preciso. Eu gosto. Mas eu não exijo isso dos alunos. Isso é comumente referido como "baixa antisimetria". Dez lindos.

Há muito tempo, porque na década de setenta (do século passado) foi realizada uma grande e alegre reforma do ensino da matemática. Isto coincidiu com o início do curto período de reinado de Eduard Gierek - uma abertura definitiva do nosso país ao mundo. “As crianças também podem aprender matemática superior”, exclamaram os Grandes Professores. Um resumo da palestra universitária “Fundamentos da Matemática” foi compilado para as crianças. Esta foi uma tendência não só na Polónia, mas em toda a Europa. Não bastava resolver a equação; era preciso explicar cada detalhe. Para não ser infundado, cada um dos Leitores pode resolver o sistema de equações:

mas os alunos tinham que justificar cada passo, referir-se a declarações relevantes, etc. Este era um clássico excesso de forma sobre conteúdo. É fácil para mim criticar agora. Eu também já fui um defensor dessa abordagem. É emocionante... para jovens apaixonados por matemática. Isso, é claro, era (e, por uma questão de atenção, eu).

Mas chega de digressão, vamos ao que interessa: uma palestra que era "teoricamente" destinada a alunos do segundo ano do Politécnico e teria sido seca como flocos de coco se não fosse por ela. Estou exagerando um pouco...

Bom dia para você. O tema de hoje é limpeza parcial. Não, isso não é um indício de limpeza descuidada. Uma comparação melhor seria considerar o que é melhor: sopa de tomate ou bolo de creme. A resposta é clara: depende de quê. Para sobremesa - biscoitos, e para prato nutritivo: sopa.

Em matemática, lidamos com números. Eles são ordenados: são maiores e menores, mas de dois números diferentes, um é sempre menor, o que significa que o outro é maior. Eles são organizados em ordem, como as letras do alfabeto. No diário da turma, a ordem pode ser a seguinte: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (são amigos e colegas da minha turma!). Também não temos dúvidas de que Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. O símbolo para "dupla desigualdade" tem o significado de "antes".

No meu clube de viagens, tentamos fazer as listas em ordem alfabética, mas por nome, por exemplo, Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz, etc. Nos registros oficiais, a ordem seria inversa. Os matemáticos referem-se à ordem alfabética como lexicográfica (um léxico é mais ou menos como um dicionário). Por outro lado, tal ordem, na qual em um nome composto de duas partes (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) olhamos primeiro para a segunda parte, é uma ordem antilexicográfica para matemáticos. Títulos longos, mas conteúdo muito simples.

1. Ordem linear: estações e paradas na ferrovia Habovka-Zakopane de Podhale, construída em 1899 (deixo a decodificação das abreviações para o leitor).

Todos esses pedidos são chamados de pedidos de linha. Nós ordenamos por sua vez: primeiro, segundo, terceiro. Tudo está em ordem, do primeiro ao último ponto. Nem sempre faz sentido. Afinal, organizamos livros na biblioteca não assim, mas em seções. Somente dentro do departamento organizamos linearmente (geralmente em ordem alfabética).

2. Ordem linear: ao dar partida no motor do carro, realizamos ações em uma ordem consistente.

Com projetos maiores, principalmente em trabalho em equipe, não temos mais uma ordem linear. Vamos olhar para FIG. 3. Queremos construir um pequeno hotel. Já temos dinheiro (célula 0). Elaboramos alvarás, coletamos materiais, iniciamos a construção e ao mesmo tempo fazemos campanha publicitária, procuramos funcionários, etc. Quando chegamos a "10", os primeiros hóspedes podem fazer o check-in (um exemplo das histórias do Sr. Dombrowski e seu pequeno hotel nos subúrbios de Cracóvia). Nós temos ordem não linear – algumas coisas podem acontecer em paralelo.

Em economia, você aprende sobre o conceito de caminho crítico. É um conjunto de ações que devem ser realizadas sequencialmente (e isso é chamado de cadeia em matemática, falaremos mais sobre isso daqui a pouco) e que levam mais tempo. Reduzir o tempo de construção é uma reorganização do caminho crítico. Mas falaremos mais sobre isso em outras palestras (deixe-me lembrar que estou dando uma “palestra universitária”). Nós nos concentramos em matemática.

Diagramas como a Figura 3 são chamados de diagramas de Hasse (Helmut Hasse, matemático alemão, 1898-1979). Todo esforço complexo deve ser planejado dessa maneira. Vemos sequências de ações: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Os matemáticos os chamam de cordas. A ideia toda consiste em quatro cadeias. Em contraste, os grupos de atividade 1-2-3-4, 5-6-7 e 8-9 são anticadeias. Aqui está como eles são chamados. O fato é que em um determinado grupo, nenhuma das ações depende da anterior.

4. Este também é um diagrama de Hasse.

vamos para figura 4. O que é impressionante? Mas poderia ser um mapa do metrô em alguma cidade! As ferrovias subterrâneas são sempre agrupadas em linhas - elas não passam de uma para outra. Linhas são linhas separadas. Na cidade da Fig. 4 é forno linha (lembre-se que forno está escrito "boldem" - em polonês é chamado de meia espessura).

Neste diagrama (Fig. 4) há um ABF amarelo curto, um ACFPS de seis estações, um ADGL verde, um DGMRT azul e o vermelho mais longo. O matemático dirá: este diagrama de Hasse tem forno correntes. Está na linha vermelha sete estação: AEINRUW. E os anticadeias? Existem eles sete. O leitor já percebeu que sublinhei duas vezes a palavra sete.

Anticadeia este é um conjunto de estações que é impossível ir de uma para outra sem uma transferência. Quando "entendermos" um pouco, veremos as seguintes anticadeias: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Verifique, por exemplo, que não é possível viajar de nenhuma das estações da BCLTV para outra BCTLV sem transbordo, mais precisamente: sem ter de regressar à estação abaixo indicada. Quantos anticadeias existem? Sete. Qual o tamanho maior? Assar (novamente em negrito).

Vocês podem imaginar, alunos, que a coincidência desses números não é acidental. Isso é. Isso foi descoberto e comprovado (ou seja, sempre assim) em 1950 por Robert Palmer Dilworth (1914-1993, matemático americano). O número de linhas necessárias para cobrir todo o conjunto é igual ao tamanho da maior anticadeia e vice-versa: o número de anticadeias é igual ao comprimento da maior anticadeia. Este é sempre o caso em um conjunto parcialmente ordenado, ou seja, aquele que pode ser visualizado. Diagrama de Hassego. Esta não é uma definição rigorosa e correta. Isso é o que os matemáticos chamam de "definição de trabalho". Isso é um pouco diferente da "definição de trabalho". Esta é uma dica sobre como entender conjuntos parcialmente ordenados. Esta é uma parte importante de qualquer treinamento: veja como funciona.

A abreviatura em inglês é - esta palavra soa bonita em línguas eslavas, um pouco como um cardo. Observe que o cardo também é ramificado.

Muito bom, mas quem precisa? Vocês, queridos alunos, precisam disso para passar no exame, e esta é provavelmente uma boa razão para estudá-lo. Estou ouvindo, que perguntas? Estou a ouvir, cavalheiro, debaixo da janela. Oh, a questão é, isso será útil para o Senhor em sua vida? Talvez não, mas para alguém mais esperto que você, com certeza... Talvez para análise de caminho crítico em um projeto econômico complexo?

Escrevo este texto em meados de junho; estão em curso eleições para reitor na Universidade de Varsóvia. Li vários comentários de internautas. Há uma quantidade surpreendente de ódio (ou “ódio”) contra “pessoas educadas”. Alguém escreveu explicitamente que as pessoas com formação universitária sabem menos do que aquelas com formação universitária. É claro que não entrarei em discussão. Estou apenas triste porque a opinião predominante na República Popular da Polónia de que tudo pode ser feito com um martelo e um cinzel está a regressar. Vou voltar para a matemática.

Teorema de Dillworth tem várias aplicações interessantes. Um deles é conhecido como o teorema do casamento.FIG. 6). 

Há um grupo de mulheres (em vez de meninas) e um grupo um pouco maior de homens. Toda garota pensa algo assim: "Eu poderia me casar com este, por outro, mas nunca na minha vida por um terceiro." E assim por diante, cada um tem suas próprias preferências. Traçamos um diagrama, levando para cada um deles uma flecha do cara que ele não rejeita como candidato ao altar. P: Os casais podem ser combinados para que cada um encontre um marido que aceite?

Teorema de Philip Hall, diz que isso pode ser feito - sujeito a certas condições, que não discutirei aqui (depois na próxima aula, alunos, por favor). Observe, entretanto, que a satisfação masculina não é mencionada aqui. Como sabem, são as mulheres que nos escolhem, e não o contrário, como pensamos (deixe-me lembrar que sou a autora, não a autora).

Um pouco de matemática séria. Como o teorema de Hall segue de Dilworth? É muito simples. Vejamos novamente a Figura 6. As correntes ali são muito curtas: têm comprimento 2 (correndo na direção). Um conjunto de homenzinhos é uma anticorrente (justamente porque as setas apontam apenas uma para a outra). Desta forma você pode cobrir uma coleção inteira com tantos anticorrentes quantos homens. Então, toda mulher terá uma flecha. O que significa que ela pode parecer um cara que ela aceita!!!

Espere, alguém vai perguntar, é isso? Este é o aplicativo completo? Os hormônios de alguma forma se dão bem e por que matemática? Em primeiro lugar, este não é o aplicativo inteiro, mas apenas um de uma grande série. Vejamos um deles. Deixe (Fig. 6) significar não representantes do melhor sexo, mas sim compradores prosaicos, e são marcas, por exemplo, carros, máquinas de lavar, produtos para perda de peso, ofertas de agências de viagens, etc. e rejeita. Existe algo que possa ser feito para vender algo para todos e como? É aqui que terminam não só as piadas, mas também o conhecimento do autor do artigo sobre o tema. Tudo o que sei é que a análise se baseia em matemática bastante complexa.

Ensinar matemática na escola é ensinar algoritmos. Essa é uma parte importante do aprendizado. Mas lentamente estamos nos movendo para aprender não tanto matemática quanto o método matemático. A palestra de hoje foi justamente sobre isso: estamos falando de construções mentais abstratas, estamos pensando na vida cotidiana. Estamos falando de cadeias e anticadeias em conjuntos com relações inversas, transitivas e outras que usamos nos modelos vendedor-comprador. O computador fará todos os cálculos para nós. Ele ainda não criará modelos matemáticos. Ainda ganhamos com o nosso pensamento. De qualquer forma, espero que o maior tempo possível!