Como enganar, manipular e apresentar-se favoravelmente na grandeza da matemática?

No início de novembro de 2020, Mateusz Morawiecki referiu-se aos matemáticos do Centro de Modelagem Matemática que eles mostraram que a Greve das Mulheres causou um aumento de 5000 infecções. Tenho amigos neste Centro - eles só souberam que haviam previsto isso por meio de um discurso do Sr. - para Mateusz.

Gostaria de enfatizar que, talvez ao contrário do título do artigo, não vou elogiar nem criticar o atual primeiro-ministro. eu penso isso matemática não é o forte dele, mas tal deficiência intelectual não levantará objeções da maioria de vocês. E, em geral, um grande matemático não estaria em uma posição de responsabilidade, mas não seria sábio na vida e na política? Também vou mencionar que Donald Tusk, em sua campanha presidencial anterior, disse (como se estivesse brincando): “você não pode escrever exames de matemática sem fazer o download”. Você sabe, a nuvem de matemática é o seu homem, assim como eu. Julian Tuwim era esnobe sobre sua ignorância em matemática. E eles me chamaram para o conselho. Vou apenas observar que tivemos uma estreia em matemática na Polônia. Foi (cinco vezes) Kazimierz Bartel, 1882-1941, reitor do Politécnico de Lviv, um excelente geômetra. Não posso e não tento julgar seu reinado.

Limpar a boca é versátil e antigo. Livros, finos e grossos, foram escritos sobre isso. Existem muitas maneiras, vou falar sobre algumas, vou começar com aquelas que são costuradas com fios grossos. Talvez no passado houvesse ainda mais desses métodos, porque no monumental e primeiro de seu tipo Dicionário da Língua Polonesa Samuel Bogumil Linde (publicado em 1807-1814) lemos:

Matemático, matemático matemático, malabarista matemático.

Não conhecemos as ações mais simples e realmente queremos provar a nós mesmos. Alguns anos atrás, um jornalista de Olsztyn escreveu uma longa exposição sobre como os fabricantes estão nos enganando. Por exemplo: em um pacote de manteiga está escrito “teor de gordura 85%” - é 85% em um cubo ou em um quilograma? Toda a Polônia gorjeou. Mas apenas professores inteligentes de matemática (isto é, todos os professores de matemática!) perceberam um erro no raciocínio de um de nossos ex-primeiros-ministros, Kazimir Martsinkevich, muitos anos atrás. Vou mudar um pouco os números para facilitar a visualização. Ele disse algo assim: gastamos 150 milhões de zlotys na construção de estradas e recebemos 50 milhões de Bruxelas, então gastaremos apenas 100. Economizamos 50%. Bem, 50/100 é 50%. Onde está o erro? E se tivéssemos 100 milhões, quanto economizaríamos? O erro é sutil. Falando em porcentagens, é importante esclarecer de onde as tiramos. Esse é um erro muito comum que os professores cometem. Dizem que uma porcentagem é um centésimo. Isso não é permitido! Cem por cento, mas é sempre alguma coisa. Se gastarmos 150 e gastarmos 100, economizamos 50 de 150, que é 33%. O primeiro-ministro Martsinkevich era professor de física. Ou ele era um professor tão ruim que não entendia porcentagens, ou as manipulava deliberadamente para obter o melhor efeito político. Na verdade, eu preferiria o último. Deixe-me lembrá-lo de uma anedota muito antiga do pré-guerra. “Pai, economizei 20 centavos hoje!” "É muito bom, filho! Como? “Eu não fui de bonde para a escola, eu corri atrás dele!” “Ah, filho, corra pela segunda vez para pegar um táxi - você economizará 5 zlotys!”

Ideias, ideias! A maioria das ideias da chamada contabilidade criativa são baseadas em brechas legais (lei escrita no joelho = porcaria) e se afastam da noção de média. Aqui está um exemplo: como os salários de todos podem ser aumentados enquanto se reduz o salário médio? Simples: dê um pequeno aumento para quem já está trabalhando e, ao fazê-lo, contrate muita gente mal paga. A média vai cair… e no contexto da massa salarial global, estava fora de questão. Alegadamente, até 1989, um certo diretor de uma empresa estatal se comportou assim.

Você pode lutar diretamente, usando o analfabetismo matemático de muitos círculos da sociedade e combinando matemática (??) com literatura (??). Aqui está um texto demagógico, mas ficcional (embora baseado em uma publicação real, antes de 2010 para atenção).

As enfermeiras ficarão melhores. Há dois anos, o salário líquido médio de uma enfermeira no condado de Sochaczew era de 1500 PLN. No ano passado, o governo aumentou os gastos com saúde em meio bilhão de zlotys. Será o dobro dos anos anteriores. Hermenegilda Kotsyubinskaya, enfermeira do Hospital Clínico Central, diz: no mês passado, meu salário era de PLN 4500. Isso significa um enorme aumento de três vezes nas receitas de assistência médica.

Existe alguém para enganar? Mesmo que os números sejam os mesmos, você pode ver o que estamos comparando aqui. salário médio no hospital provincial com o salário de uma pessoa por mês. Talvez a Hermenegilda seja a chefe das enfermeiras, talvez ela tenha feito muitos plantões extras este mês e, além disso, o CRH tem uma escala salarial especial? Além disso, os mencionados 1500 PLN são salários líquidos e não é especificado se o salário da Sra. Kociubinska é líquido ou bruto. Meio bilhão é uma quantia enorme para um indivíduo, mas o que isso significa em nível nacional? Observamos imediatamente que “meio bilhão” soa melhor como propaganda do que “500 milhões”. O que 500 milhões de zlotys foram não é relatado. Não se sabe por que 500 milhões zł duas vezes mais.

Como posso melhorar meus resultados de aprendizagem? A escola X é criticada pelas autoridades educacionais por maus resultados educacionais (ou seja, um GPA baixo, embora sejam coisas diferentes!). O diretor encontra uma maneira de tornar as coisas um pouco melhores. Ele transfere vários alunos da turma A para a turma B e atinge seu objetivo: a pontuação média nas duas turmas aumentou.

Como isso é possível? Se houver um aluno na classe A cujo GPA é inferior à média da classe A, mas superior à média da classe C, movê-lo para a classe B terá o mesmo efeito. A fé é baseada neste efeito Praga Mechislav i Leshek Mazan, autores da "Enciclopédia Galega" (editora "Anabasis", Cracóvia), que no dia em que Sigismundo III Vasa e sua corte se mudaram para Varsóvia, o nível médio de inteligência aumentou em ambas as cidades.

Tendemos a interpretar dados. Este é o alongamento não elementar mais comum. Vou começar com o exemplo mais estúpido, mas confiável. Muitos, muitos anos atrás, o agora extinto Express Wieczorny informou que o salário médio na Universidade de Varsóvia seria de 15000 24 złoty (então złoty). O reitor deveria receber o salário mais alto, 6, o assistente de noviço mais baixo, 15. Média XNUMX!!! Manipulação o conceito de média é um tema para habilitação.

Aqui estão mais dois exemplos. Você sabia que a pessoa média na Polônia tem menos de duas pernas? Bem, sim: há quem tenha um, mas ninguém tem três! O segundo exemplo é mais sutil. Bem, minha esposa e eu temos nossos próprios carros. Minha transportadora consome muito combustível, 12,5 litros por 100 km. Isso significa que para 100 km preciso de 8 litros. Minha esposa tem um minúsculo Mitsubishi - consome 8 litros por 100 km. Isso também é muito, mas para que os cálculos sejam simples, os dados precisam ser um pouco processados. Muitas vezes montamos o mesmo. Portanto, o consumo médio de combustível de nossos dois carros é a média aritmética de 8 e 12,5. Some, divida por 2. Acontece 10,25 litros. Claro, é importante que muitas vezes andemos da mesma maneira. Então, onde está o escopo para manipulação?

Ah, aqui. Você sabia que o consumo de combustível nos EUA é calculado de forma diferente? Eles vão responder: "Eu dirijo tantas milhas de um galão." Deixemos de lado a conversão de galões para litros e milhas para quilômetros, mas aplique-a aos carros citados: o meu e o Nosso Casamento's Sole Review Board. Vou dirigir apenas 8 km por litro (100 dividido por 12,5), minha esposa 12,5 km (100 dividido por 8). Em média, um litro nos levará... a média aritmética desses números. Já calculamos isso uma vez. Acontece 10 e um quarto - desta vez 10,25 quilômetros.

Voltemos aos padrões europeus. Se eu dirigir 10,25 km com um litro, quantos litros você precisa para 100? Vamos pegar uma calculadora: 100 dividido por 10,25 é ... 9,76. O consumo médio dos nossos carros é 9,76... e antes disso era 10,25. Onde está o erro? Não! Na verdade, não em matemática, mas na interpretação das palavras “viajamos com a mesma frequência”. Uma análise cuidadosa mostrará que na primeira interpretação isso significa "dirigimos o mesmo número de quilômetros por mês" e na segunda "usamos a mesma quantidade de gasolina". Uma terceira variável poderia ser adicionada: passamos o mesmo tempo dirigindo (a esposa dirige muito mais rápido)… e seria diferente. Se estamos medindo algo, devemos ter uma fita métrica.

situações mais sutis. Paradoxo de Simpson. Exploramos o que é melhor para remover a caspa: Coca-Cola ou Pepsi-Cola. Testamos em mulheres e homens. Aqui estão os dados. Quase todos os cálculos podem ser feitos na memória.

Por favor, leitor, sente-se. Só para não cair fora do sentimento. Qual é a melhor bebida para remover a caspa nos homens? Marquei os números maiores em vermelho e os menores em azul. 25 é mais do que 20, certo? Senhores: compre Coca-Cola para caspa! E as mulheres? Provavelmente o contrário? Não, 60> 53. Senhoras, tomem uma Coca.

A empresa compra anúncios na televisão, onde um casal feliz (à moda antiga: um homem e uma mulher) se livra dessa doença leve com a ajuda da Coca-Cola. Mas há um anúncio da Pepsi. Bem, porque havia 250 pessoas no teste aqui e aqui, o que significa que eles foram divididos igualmente. A Coca-Cola ajudou 80 pessoas (32%), a Pepsi ajudou 100 pessoas, 40%. Na tela, a multidão está se livrando da caspa enquanto uma lata de Pepsi rola na frente da câmera. “Nossa geração já escolheu!”

Onde está o erro? Não. Quer dizer, a matemática é boa. Ou melhor, apenas aritmética. Para ser matematicamente correto, devemos tirar amostras comparáveis com a mesma proporção de M como K. Caso contrário, os cálculos não fazem sentido, como se estivéssemos calculando o peso médio de um mosquito e um elefante. Podemos somar e dividir por dois. O que nós calculamos? Bem, o peso médio de um mosquito e um elefante. O que nos dará? Um fio.

Mas vamos levar isso para a política, para os EUA, é claro. Os partidários de um dos candidatos, dizem Bump, chorariam: somos melhores tanto para senhoras quanto para senhores. Vote em Jozef Podskok! Os apoiadores de Triden escreveriam em faixas: Somos os melhores do mundo. Vote pato com 3 tocas (Donald).

Ok, como é mesmo? Esta é a parte mais difícil. O que significa "realmente"? Podemos dizer: "Verdadeiro é aquilo que está de acordo com a realidade." No entanto, surge outra questão: como medir a "correspondência à realidade"? Mas isso não é mais matemática, e eu gostaria de me ater a isso, porque só aqui me sinto confiante.

Sobre este paradoxo (chamado Paradoxo de Simpson) é baseado em muitos, muitos outros. É conhecido na matemática há cem anos, mas (relativamente) recentemente as ciências sociais se interessaram por ele. Tudo começou com o fato de que em uma das universidades americanas o reitor percebeu que as meninas eram aceitas muito menos que os meninos. Ela pediu relatórios aos reitores... e descobriu-se que em todas as faculdades a proporção de aceitos para candidatos era maior para meninas do que para meninos - e muito pelo contrário. Recomendo ao leitor reformular o exemplo da Pepsi e da Coca-Cola para a situação dos departamentos universitários.

Uma situação ainda mais sutil. Todos no mundo matemático conhecem o "exemplo de Nebraska". Em algum lugar em Nebraska, uma loja foi saqueada e uma caixa registradora foi roubada. As testemunhas lembraram apenas que isso foi feito por um casal estranho: um homem moreno com barba e uma mulher com feições orientais. Eles partiram (pneus cantando como no filme) em um Toyota amarelo. Poucas horas depois, a polícia deteve ... um Toyota amarelo, no qual estava um afro-americano de barba, acompanhado por uma asiática. "É você!". Algemas, tribunal. Um matemático experiente calculou que tal conjunto (negro + asiático + Toyota amarelo) é tão único que 99,999% dos ladrões são procurados. Ele jogou termos memorizados no corredor: eventos elementares, diagrama de Bernoulli, conjunção. O casal foi se sentar. No entanto, contrataram o melhor matemático, que disse em apelo: “Ótimo. Julgue por si mesmo, meu antecessor calculou que a probabilidade de um carro encontrado aleatoriamente com dois passageiros ser um Toyota amarelo com um preto e uma japonesa é tal e tal. Mas aqui precisamos resolver outro problema, a probabilidade condicional. Qual é a probabilidade de encontrar outro par (ou três, se você ligar a máquina), se soubermos que tal já existe. »

Não sabemos se o juiz entendeu algum dos argumentos. Talvez apenas que a resposta dependa da escolha da situação. Isso foi o suficiente. Ele cancelou a sentença.

Um golpe na cabeça com uma vara. Sempre tratamos dessa demagogia (1).

Os bares são terríveis: os preços do carvão dobraram. Observar os números é reconfortante: eles realmente aumentaram de 161 PLN por tonelada para 169 PLN (exercício: em que porcentagem?). Mas como a maioria das pessoas aprende visualmente, elas se lembrarão do gráfico, não dos números. Sem entrar em discussões políticas, devo dizer que um método semelhante foi usado pelo governo (o do verão de 2020), imaginando um aumento nos gastos com câncer. Isso não é uma crítica a esse governo. O próximo também usará esse método. É seguro e dá um efeito imediato ("visto").

Vamos usar máscaras. As leis da propagação de epidemias são simples e "em si" inexoráveis. O número de pessoas infectadas está crescendo mais rápido, quanto mais já existem. É assim que a avalanche vai. É o que a matemática diz. Há, no entanto, um grande "mas" - talvez mais de um. Primeiro, é assim, enquanto "nada acontece". Quando a avalanche na floresta for interrompida, quando a epidemia for retardada pelo comportamento sábio de todos nós, então não iremos tanto “agradecer” à matemática quanto criar um modelo diferente. Sim, um modelo matemático diferente (como no exemplo do roubo a uma loja em Nebraska). A matemática, uma bela ciência, só ajuda a entender o mundo. Tantos, mas apenas tantos. Vejamos: saltamos quase seis metros com uma vara, sem ela não saltamos nem 2,50. Em seguida, pegue a vara na mão e pule. Ele é um baita incômodo, não é?

usar matemática nas ciências sociais é difícil, perigoso e, pior, tentador. Os conhecedores dos Tatras associam-no à ravina Drege: uma descida suave e gramada de Garnets a Chyorny Stav ... É assim que parece de cima. Logo a ravina se transforma em uma armadilha da qual apenas o TOPR, o Serviço de Resgate Voluntário Tatra, pode nos salvar.

Os matemáticos chamam esse aumento de avalanches e epidemias de crescimento exponencial. Como já escrevi, esse crescimento pode ser suprimido, mas não novamente. No entanto, vejamos dois gráficos da mesma curva (apenas em uma escala diferente). Quem vai entender, dou a fórmula dessa função: y = 2^xdois ao poder. Por favor, olhe para os gráficos. A partir de que ponto ocorre a rápida aceleração do crescimento? Todos vão indicar: está mais ou menos próximo do ponto marcado com um ponto grande. Mas no primeiro gráfico esse valor é próximo de 1,5, no segundo é superior a 3 e no terceiro é 4,5. Se houver algum tipo de manifestação de rua então, então podemos dizer: por favor, a partir do momento da manifestação, a curva subiu, subiu muito. Na glória da matemática! E isso é apenas uma propriedade da curva exponencial. A escala correspondente e o ponto de partida da aceleração rápida podem ser escolhidos livremente (2).

Eleições presidenciais... nos EUA, claro. Ainda nos lembramos da farsa de novembro de 2020. O país, que ainda é a potência número 1, não lidou com a contagem de páginas. No final descobriu-se que Joe Biden ele não apenas ganhou mais votos eleitorais, mas teria vencido se a decisão tivesse sido tomada por maioria simples. Na situação que descreverei, não há manipulação matemática - apenas um exemplo de como o resultado das eleições pode depender da resolução adotada. Se você sabe, é difícil protestar. Um defensor no futebol pode considerar a proibição de handebol errada, mas se ela for ignorada, uma penalidade será marcada.

Imagine que estão concorrendo à presidência da Grécia: Apolônio, Euclides, Garça, Pitágoras i Tal. Quem os eleitores escolherem se tornará presidente. São 100. Eles foram eleitos pelo voto popular, e então os partidos representados no Parlamento, ou seja, o Circus Maximus, estabeleceram a ordem de suas preferências. Algo está errado porque Circus Maximus é um nome latino, não grego. Mas não vamos discutir com as fontes.

Quem se tornará presidente? Vejamos como depende da ordenação. As preferências do partido devem ser entendidas de tal forma que seus eleitores votem na primeira pessoa da lista que permanecer nas eleições após o próximo turno.

Se a decisão estipular que vença o candidato que colocar mais eleitores em primeiro lugar, vencerá Pitágoras, pois será eleito por 25 + 9 = 34 eleitores. É o que acontece na escola quando escolhemos, por exemplo, o melhor aluno. Em nosso lugar: Pitágoras é eleito pelo povo!
Nas eleições presidenciais modernas, o sistema de segundo turno é mais usado. Votamos em um candidato, mas se nenhum deles exceder 50%, um segundo turno é realizado. O vencedor é aquele que obtiver a maioria absoluta dos votos, ou seja, simplesmente mais votos do que seu oponente. Nesse cenário, Pitágoras (34 votos) e Tales (20) irão para o segundo turno. No segundo turno, os eleitores distribuem seus votos de acordo com suas preferências. Todos, exceto os pitagóricos, preferem Tales a Pitágoras. Esta é uma situação comum em que um partido tem um eleitorado duro e está cercado pela relutância geral. Assim, na prorrogação, Pitágoras não receberá um único voto. Resultado 66:34 a favor de Thales e uma vitória decisiva. Uma situação semelhante ocorreu em 2001 na Eslováquia, onde um candidato que claramente ganhou o primeiro turno perdeu no segundo. Foi semelhante nas eleições presidenciais na Polônia em 2005: o líder foi derrotado no segundo após o primeiro turno. Viva os contos presidenciais!
No ciclismo, é usado o chamado sistema australiano. Após cada volta da pista, a última é eliminada. Esta versão da lei eleitoral é chamada de "eleição de diretores". Sob este sistema, o primeiro presidente da Polônia independente, Gabriel Narutowicz, foi eleito. Como seria na nossa Grécia?

A questão é mais complicada. Por favor, rastreie. No primeiro turno, Euclides recebeu o menor número de votos e desistiu (que pena, que bom matemático!). O partido então vota no segundo turno para o segundo de sua lista: Tsaplya. No segundo turno Heron tem 19 + 10 = 29 votos. Apolônio é eliminado (17 votos). Partido, e depois vote em Heron. No terceiro turno Pitágoras (eleitorado fixo) tem 34 votos, Tales 20 e Heron 29 + 17 = 46 votos. As histórias estão lançadas. Os Falesianos (Partido B) também não gostam dos Pitagóricos - eles preferem arautos. Outros também, exceto as partes estáveis A e E. No turno final, Heron derrota facilmente Pitágoras 66:34. Vivat Presidente Heron!

4. No Festival Eurovisão da Canção, foram atribuídos 12 pontos para o primeiro lugar da lista, 10 para o segundo lugar, 9 para o terceiro e assim sucessivamente. Vamos supor aproximadamente a mesma pontuação 6-4-3-2-1. Assim, os pontos foram concedidos em três partidas de atletismo (três equipes, dois jogadores em cada competição, em 1958 a Polônia venceu os EUA e a Grã-Bretanha!). Nossos resultados serão os seguintes:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Gregos, aqui está o seu Presidente Euclides!

5. Os leitores supõem que só precisamos contar os votos para que Apolônio seja o melhor. De fato, Apolônio é o melhor - porque ele é o melhor. Todos perdem para Apolônio! Por quê?

Para quantos eleitores colocaram Apolônio acima de Heron? Vamos calcular: 25+17+9=51 significa maioria. Não muito, mas ainda assim.

Quão longe está Apolônio à frente de Euclides? 20 + 19 + 17 = 56, a maioria deles.

Quantos preferem Apolônio a Tales: 19+17+10+9=55>50.

Finalmente, Apolônio de Pitágoras prefere 20 + 19 + 17 + 10 = 66 eleitores de 100.

Desde então - o povo grego, capaz de pensar logicamente - desde então, acima de tudo, Apolônio prefere qualquer outro candidato; afinal, é ele quem deve nos governar no próximo mandato! Aproxime-se, Apolônio, nosso presidente eleito! Você será nosso 44.