Caminhos geométricos e matagais

Enquanto escrevia este artigo, lembrei-me de uma canção muito antiga de Jan Pietrzak, que ele cantou antes de sua atividade satírica no cabaré Pod Egidą, reconhecido na República Popular da Polônia como uma válvula de segurança; alguém poderia honestamente rir dos paradoxos do sistema. Nessa música, o autor recomenda a participação política socialista, ridicularizando quem quer ser apolítico e desligando o rádio no jornal. “É melhor voltar para a escola lendo”, cantou Petshak, então com XNUMX anos, ironicamente.

Vou voltar para a escola lendo. Estou relendo (não pela primeira vez) o livro de Shchepan Yelensky (1881-1949) “Lylavati”. Para poucos leitores, a própria palavra já diz alguma coisa. Este é o nome da filha do famoso matemático hindu conhecido como Bhaskara (1114-1185), chamado Akaria, ou o sábio que intitulou seu livro de álgebra com esse nome. Lilavati mais tarde se tornou uma renomada matemática e filósofa. Segundo outras fontes, foi ela quem escreveu o livro sozinha.

Szczepan Yelensky deu o mesmo título ao seu livro sobre matemática (primeira edição, 1926). Pode até ser difícil chamar este livro de trabalho matemático - era mais um conjunto de quebra-cabeças e amplamente reescrito de fontes francesas (os direitos autorais no sentido moderno não existiam). De qualquer forma, por muitos anos, foi o único livro polonês popular sobre matemática - mais tarde, o segundo livro de Jelensky, Pitágoras, Doces, foi adicionado a ele. Então os jovens interessados ​​em matemática (que é exatamente o que eu já fui) não tinham por onde escolher...

por outro lado, "Lilavati" tinha que ser conhecido quase de cor... Ah, havia momentos... A maior vantagem deles era que eu era... um adolescente então. Hoje, do ponto de vista de um matemático bem formado, vejo Lilavati de uma forma completamente diferente - talvez como um alpinista nas curvas do caminho para Shpiglasova Pshelench. Nem um nem outro perde seu encanto ... Em seu estilo característico, Shchepan Yelensky, que professa as chamadas ideias nacionais em sua vida pessoal, escreve no prefácio:

Sem tocar na descrição das características nacionais, direi que mesmo depois de noventa anos, as palavras de Yelensky sobre matemática não perderam sua relevância. A matemática ensina a pensar. É um fato. Podemos ensiná-lo a pensar de forma diferente, mais simples e mais bela? Talvez. É que... ainda não podemos. Eu explico aos meus alunos que não querem fazer matemática que isso também é um teste de sua inteligência. Se você não consegue aprender uma teoria matemática realmente simples, então... talvez suas habilidades mentais sejam piores do que nós dois gostaríamos...?

Sinais na areia

E aqui está a primeira história em "Lylavati" - uma história descrita pelo filósofo francês Joseph de Maistre (1753-1821).

Um marinheiro de um navio naufragado foi jogado pelas ondas em uma praia vazia, que ele considerava desabitada. De repente, na areia costeira, ele viu o traço de uma figura geométrica desenhada na frente de alguém. Foi então que percebeu que a ilha não está deserta!

Citando de Mestri, Yelensky escreve: figura geométricateria sido uma expressão muda para o infeliz, náufrago, coincidência, mas ele lhe mostrou de relance proporção e número, e isso anunciava um homem esclarecido. Tanto para a história.

Observe que um marinheiro causará a mesma reação, por exemplo, desenhando a letra K, ... e quaisquer outros vestígios da presença de uma pessoa. Aqui a geometria é idealizada.

No entanto, o astrônomo Camille Flammarion (1847-1925) propôs que as civilizações se cumprimentassem à distância usando a geometria. Ele viu nisso a única tentativa correta e possível de comunicação. Vamos mostrar a esses marcianos os triângulos pitagóricos... eles nos responderão com Tales, nós responderemos a eles com padrões Vieta, seu círculo se encaixará em um triângulo, então uma amizade começou...

Escritores como Júlio Verne e Stanislav Lem retornaram a essa ideia. E em 1972, ladrilhos com padrões geométricos (e não só) foram colocados a bordo da sonda Pioneer, que ainda percorre as extensões do espaço, agora a quase 140 unidades astronômicas de nós (1 I é a distância média da Terra à Terra) . Sol, ou seja, cerca de 149 milhões de km). A telha foi projetada, em parte, pelo astrônomo Frank Drake, criador da controversa regra sobre o número de civilizações extraterrestres.

A geometria é incrível. Todos conhecemos o ponto de vista geral sobre a origem desta ciência. Nós (nós humanos) apenas começamos a medir a terra (e mais tarde a terra) para os propósitos mais utilitários. Determinar distâncias, traçar linhas retas, marcar ângulos retos e calcular volumes gradualmente se tornou uma necessidade. Daí a coisa toda geometria (“Medição da Terra”), daí toda matemática...

No entanto, por algum tempo, essa imagem clara da história da ciência nos obscureceu. Pois se a matemática fosse necessária apenas para fins operacionais, não estaríamos empenhados em provar teoremas simples. “Você vê que isso deveria ser verdade”, alguém diria depois de verificar que em vários triângulos retângulos a soma dos quadrados das hipotenusas é igual ao quadrado da hipotenusa. Por que tanto formalismo?

A torta de ameixa tem que ser deliciosa, o programa de computador tem que funcionar, a máquina tem que funcionar. Se contei a capacidade do barril trinta vezes e tudo está em ordem, por que mais?

Nesse meio tempo, ocorreu aos gregos antigos que alguma evidência formal precisava ser encontrada.

Assim, a matemática começa com Tales (625-547 aC). Supõe-se que foi Mileto quem começou a se perguntar por quê. Não é suficiente para as pessoas inteligentes que tenham visto algo, que estejam convencidas de algo. Eles viram a necessidade de provas, uma sequência lógica de argumentos da suposição à tese.

Eles também queriam mais. Provavelmente foi Tales quem primeiro tentou explicar os fenômenos físicos de maneira naturalista, sem intervenção divina. A filosofia européia começou com a filosofia da natureza - com o que já está por trás da física (daí o nome: metafísica). Mas as bases da ontologia e filosofia natural européias foram lançadas pelos pitagóricos (Pitágoras, c. 580-c. 500 aC).

Ele fundou sua própria escola em Crotone, no sul da Península dos Apeninos - hoje nós a chamaríamos de seita. Ciência (no sentido atual da palavra), misticismo, religião e fantasia estão intimamente interligados. Thomas Mann apresentou muito bem as lições de matemática em um ginásio alemão no romance Doutor Fausto. Traduzido por Maria Kuretskaya e Witold Virpsha, este fragmento diz:

No interessante livro de Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, encontrei um ponto de vista muito interessante. Em um dos capítulos, o autor descreve o significado da escola pitagórica. O próprio título do capítulo me impressionou. Lê-se: "A invenção da matemática: os pitagóricos".

Frequentemente discutimos se as teorias matemáticas estão sendo descobertas (por exemplo, terras desconhecidas) ou inventadas (por exemplo, máquinas que não existiam antes). Alguns matemáticos criativos se veem como pesquisadores, outros como inventores ou designers, menos frequentemente contadores.

Mas o autor deste livro escreve sobre a invenção da matemática em geral.

Do exagero ao delírio

Após esta longa parte introdutória, passarei para o início. geometriapara descrever como uma confiança excessiva na geometria pode enganar um cientista. Johannes Kepler é conhecido em física e astronomia como o descobridor das três leis do movimento dos corpos celestes. Primeiro, cada planeta no sistema solar se move ao redor do sol em uma órbita elíptica, em um dos focos do qual é o sol. Em segundo lugar, em intervalos regulares, o raio principal do planeta, extraído do Sol, desenha campos iguais. Em terceiro lugar, a razão entre o quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol e o cubo do semi-eixo maior de sua órbita (ou seja, a distância média do Sol) é constante para todos os planetas do sistema solar.

Talvez essa tenha sido a terceira lei - exigiu muitos dados e cálculos para estabelecê-la, o que levou Kepler a continuar procurando padrões no movimento e na posição dos planetas. A história de sua nova "descoberta" é muito instrutiva. Desde a antiguidade, admiramos não apenas os poliedros regulares, mas também os argumentos que mostram que existem apenas cinco deles no espaço. Um poliedro tridimensional é chamado regular se suas faces são polígonos regulares idênticos e cada vértice tem o mesmo número de arestas. Ilustrativamente, cada canto de um poliedro regular deve "parecer o mesmo". O poliedro mais famoso é o cubo. Todo mundo já viu um tornozelo comum.

O tetraedro regular é menos conhecido, e na escola é chamado de pirâmide triangular regular. Parece uma pirâmide. Os três poliedros regulares restantes são menos conhecidos. Um octaedro é formado quando conectamos os centros das arestas de um cubo. O dodecaedro e o icosaedro já parecem bolas. Feitos de couro macio, seriam confortáveis ​​para cavar. O raciocínio de que não existem poliedros regulares além dos cinco sólidos platônicos é muito bom. Primeiro, percebemos que se o corpo é regular, então o mesmo número (seja q) de polígonos regulares idênticos deve convergir em cada vértice, sejam esses ângulos p. Agora precisamos lembrar qual é o ângulo em um polígono regular. Se alguém não se lembra da escola, lembramos como encontrar o padrão certo. Fizemos uma viagem ao virar da esquina. Em cada vértice, giramos pelo mesmo ângulo a. Quando contornamos o polígono e voltamos ao ponto de partida, fizemos p tais voltas e, no total, giramos 360 graus.

Mas α é o complemento de 180 graus do ângulo que queremos calcular e, portanto, é

Encontramos a fórmula do ângulo (um matemático diria: medidas de um ângulo) de um polígono regular. Vamos verificar: no triângulo p = 3, não existe a

Assim. Quando p = 4 (quadrado), então

graus também está bom.

O que obtemos por um pentágono? Então, o que acontece quando há q polígonos, cada p com os mesmos ângulos

 graus descendo em um vértice? Se estivesse em um plano, então um ângulo se formaria

graus e não pode ser superior a 360 graus - porque então os polígonos se sobrepõem.

No entanto, como esses polígonos se encontram no espaço, o ângulo deve ser menor que o ângulo total.

E aqui está a desigualdade da qual tudo se segue:

Divida por 180, multiplique ambas as partes por p, ordene (p-2) (q-2) < 4. O que se segue? Vamos estar cientes de que p e q devem ser números naturais e que p > 2 (por quê? E o que é p?) e também q > 2. Não há muitas maneiras de tornar o produto de dois números naturais menor que 4. 'll listá-los todos. na tabela 1.

Não posto desenhos, todos podem ver essas figuras na Internet... Na Internet... Não vou recusar uma digressão lírica - talvez seja interessante para jovens leitores. Em 1970, falei em um seminário. O tema era difícil. Tive pouco tempo para me preparar, sentei-me à noite. O artigo principal era somente leitura no local. O lugar era aconchegante, com clima de trabalho, bom, fechava às sete. Então a própria noiva (agora minha esposa) se ofereceu para reescrever todo o artigo para mim: cerca de uma dúzia de páginas impressas. Copiei (não, com caneta de pena não, tínhamos até canetas), a palestra foi um sucesso. Hoje tentei encontrar esta publicação, que já é antiga. Lembro-me apenas do nome do autor... As buscas na Internet duraram muito tempo... quinze minutos completos. Eu penso sobre isso com um sorriso e um pouco de arrependimento injustificado.

Nós voltamos para Keplera e geometria. Aparentemente, Platão previu a existência da quinta forma regular porque lhe faltava algo unificador, cobrindo o mundo inteiro. Talvez seja por isso que ele instruiu um aluno (Theajtet) a procurá-la. Como foi, assim foi, com base no qual o dodecaedro foi descoberto. Chamamos essa atitude de Platão de panteísmo. Todos os cientistas, até Newton, sucumbiram a ela em maior ou menor grau. Desde o século XVIII altamente racional, sua influência diminuiu drasticamente, embora não devamos nos envergonhar do fato de que todos sucumbimos a ela de uma forma ou de outra.

No conceito de Kepler de construir o sistema solar, tudo estava correto, os dados experimentais coincidiam com a teoria, a teoria era logicamente coerente, muito bonita... mas completamente falsa. Em seu tempo, apenas seis planetas eram conhecidos: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Por que existem apenas seis planetas? perguntou Kepler. E que regularidade determina sua distância do Sol? Ele assumiu que tudo estava conectado, que geometria e cosmogonia estão intimamente relacionados entre si. A partir dos escritos dos antigos gregos, ele sabia que havia apenas cinco poliedros regulares. Ele viu que havia cinco vazios entre as seis órbitas. Então, talvez cada um desses espaços livres corresponda a algum poliedro regular?

Após vários anos de observação e trabalho teórico, ele criou a seguinte teoria, com a qual calculou com bastante precisão as dimensões das órbitas, que apresentou no livro "Mysterium Cosmographicum", publicado em 1596: Imagine uma esfera gigante, cujo diâmetro é o diâmetro da órbita de Mercúrio em seu movimento anual ao redor do sol. Então imagine que nesta esfera há um octaedro regular, sobre ela uma esfera, sobre ela um icosaedro, sobre ela novamente uma esfera, sobre ela um dodecaedro, sobre ela outra esfera, sobre ela um tetraedro, então novamente uma esfera, um cubo e, finalmente, neste cubo é descrita a bola.

Kepler concluiu que os diâmetros dessas esferas sucessivas eram os diâmetros das órbitas de outros planetas: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. A teoria parecia ser muito precisa. Infelizmente, isso coincidiu com os dados experimentais. E que melhor evidência da correção de uma teoria matemática do que sua correspondência com dados experimentais ou dados observacionais, especialmente "retirados do céu"? Resumirei esses cálculos na Tabela 2. Então, o que Kepler fez? Tentei e tentei até dar certo, ou seja, quando a configuração (ordem das esferas) e os cálculos resultantes coincidiam com os dados observacionais. Aqui estão as figuras e cálculos modernos de Kepler:

Pode-se sucumbir ao fascínio da teoria e acreditar que as medições no céu são imprecisas, e não os cálculos feitos no silêncio da oficina. Infelizmente, hoje sabemos que existem pelo menos nove planetas e que todas as coincidências de resultados são apenas coincidências. Uma pena. Foi tão bonito...